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Ebene Geometrie


Bemerkung zur Aufgabe 4530833 (vier Kreise) in Thüringen
von Tobias Schoel

MO 4530833


Aufgabensammlung zur Vollständigen Induktion


Ungleichungen

Teilbarkeiten

Summen

  • \sum_{n=m}^{\infty}\binom{n}{m}p^m(1-p)^{n-m}=\frac{1}{p}, p<2, m\in\NN

Binomialkoeffizienten

  • \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n
  • \sum_{k=0}^n\binom{q+k}{k}=\binom{n+q+1}{q+1}
  • \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}=n2^{n-1}
  • \sum_{k=0}^n\binom{a}{n-k}\binom{b}{k}=\binom{a+b}{n}
    • Spezialfall: \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}
  • Binomischer Lehrsatz: (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}

Ableitungen

Färbungen

  • Zwei-Farben-Satz: Eine Karte, die nur aus Geraden besteht, kann durch zwei Farben gefärbt werden. (So dass keine zwei Regionen mit gleicher Farbe einander berühren.)
  • Drei-Farben-Satz: Eine Karte, die nur aus Kreisen und pro Kreis einer Sehne besteht, kann durch drei Farben gefärbt werden. (So dass keine zwei Regionen mit gleicher Farbe einander berühren.)

Aufgaben zu induktiven Beweisprinzipien

Telekopreihe

  • \sum_{k=0}^n q^i=\frac{q^n-1}{q-1}
  • \sum_{k=0}^n\binom{a+k}{k}^{-1}=\frac{a}{a-1}(1-\binom{n+a}{n+1}^{-1})

Prinzip des kleinsten Elements


Kongruente Zahlen

  • Definition a(=)b mod m, Äquivalenzrelation, +, - ,*,, eingeschränkte Division, Potenzieren
  • Neunerregel, Elferregel
  • Potenzreste
    • Aufgabe: Wie lauten die letzten 3 Ziffern von 2^1000 (=376), von 3^1000 (001)
  • Euler-Fermatscher Satz: Definition von phi(m), phi(p)=p-1, phi(p^n)=p^n -p^n-1, phi(mn)=phi(m)phi(n) bei teilerfremden m,n
  • Quadratische Reste
    • modulo 4 und 8: a^2 +b^2 =4c +3, a^2 +b^2 +c^2 = 8n +7 haben keine Lösungen aber auch a^2 + b^2 +c^2 =28 hat keine Lösung.
    • Es gibt keine Quadratzal mit Quersumme 2006
    • 7 | a^3 +b^3 +c^3 --> 7|abc

Polynome

  • Grad, Koeffizienten, Nullstellen,
  • Polynomdivision, Division durch x-a, Abspalten von Nullstellen, mehrfache Nullstellen
  • Fundamentalsatz der Algebra, Identitätssatz
    • Aufgaben: Rest von x^100 +50x^2 +10x +1 bei Division durch x-1 und x^2 -1
    • -1 ist mehrfache Nullstelle von x^5 -ax^2 -ax +1. Ermittle a.
  • Rationale Nullstellen von ganzzahligen Polynomen
    • Aufgaben: x^3 +2x^2 -5x -5 =0, x^3 +2x^2 -5x -6 =0, x^5 +2x^4 +4x +8=0.
    • GS: 441141: x^3 +1 -xy^2 -y^2 =0, y^3 -1 -x^2y +x^2 =0,
  • VIETAscher Wurzelsatz, elementarsymmetrische Funktionen, Potenzsummen, Hauptsatz über symmetrische Polynome
    • Aufgaben: 451131: x^4 +y^4 =82, x+y =2,


Unkategorisierte Aufgaben

  • Beweise: Unter beliebigen (2^{n+1}) natürlichen Zahlen gibt es (2^n) natürliche Zahlen, deren Summe durch (2^n) teilbar ist.
  • Ein Rechner kenne nur eine Operation: Er kann das arithmetische Mittel zweier Zahlen bestimmen, wenn diese beide gerade oder beide ungerade sind. Beweise, dass der Rechner jedes Ergebnis von 0 bis (n) möglich ist, wenn als Eingabe nur die teilerfremden Zahlen (m) und (n) sowie die Zahl 0 und bisherige Ergebnisse erlaubt sind.

Literatur:

Siehe auch die Einträge in der LSGM - Internetbibiothek:
Oder:
  • Mathematical Circles (Russian Experience) von Dmitri Fomin, Sergey Genkin und Ilia Itenberg, American Mathematical Society