Übersicht von behandelte Zirkelthemen als Hilfestellung zur Themenwahl. Jahrgangsstufe 9.

Schuljahr 2009/10

• Grundlagen Geometrie (Wiederholung Bewegungen in der Ebene, Kongruenz, Streckung, Ähnlichkeit, Winkel am Kreis)
• Wiederholung geom. Sätze, Sehnenvierecke, Lösen von geometrischen Aufgaben (Theorie), Geometrieaufgaben
• weitere Sätze am Kreis
• vollständige Induktion
• Olympiadevorbereitung
• Zahlentheorie (Modulorechung)
• Kleiner Fermatscher Satz, Satz von Euler, Satz von Wilson
• Spieltheorie- und Praxis
• Grundbegriffe Logik, Mengen, Äquivalenzrelationen
• Peano-Axiome
• Abzählbarkeit, komplexe Zahlen
• Schubfachprinzip
• Invarianzprinzip
• Extremalprinzip
• Kombinatorik
• Parametergleichungen
• In- und Ankreis

Schuljahr 2008/09

• Verschiedene Matheolympiadeaufgaben
• Zahlentheorie (Wiederholung und Aufgaben)
• Aufgaben zur Kombinatorik
• Kombinatorik (n über k)
• Kombinatorik
• Kombinatorik, Induktion, binomischer Satz
• Geometrie
• Quadratische Gleichungen
• Gleichungen höheren Grades, Satz von Vieta
• Polynomdivision, Aufgaben zu Gleichungen höheren Grades
• Polynome, rationale/irrationale Zahlen
• Neunzehnter Termin, Mittwoch 25.06.08: rationale/irrationale Zahlen

Schuljahr 2007/08

Der Zirkel richtete sich größtenteils nach dem Buch

Dmitri Fomin, Sergey Genkin, Ilia Itenberg: Mathematical Circles (Russian Experience). (American Mathematical Society 1996).

• Prinzip der vollstaendigen Induktion I
• Prinzip der vollstaendigen Induktion II
• Prinzip der vollstaendigen Induktion III
• Kombinatorik I
• Kombinatorik II
• Ungleichungen I (elementare Ungleichungen, Beweisstrategien)
• Ungleichungen II (AM-GM-Ungleichung)
• Ungleichungen III (Zwei-Folgen-Satz)
• Ungleichungen III (Zwei-Folgen-Satz)
• Geometrie (Dreiecksungleichung, kürzeste Wege)
• Zahlentheorie (Kongruenz von Zahlen, Teilbarkeitsregeln)
• Abschlusszirkel (mathematische Spiele)

Schuljahr 2006/07

1. Zirkel: Solitär/Einsiedlerspiel
   • Lösen durch Zusammensetzen von Teillösungen ("Päckchen")
   • Frage: Wie viele Felder kann sich eine Gruppe von Solitär-Figuren in eine Richtung ausdehnen?
2. Zirkel: Solitär
   • Wir wollen beweisen: Ein Gruppe von Solitär-Figuren kann sich höchstens vier Felder ausdehnen.
   • Wie funktioniert ein Unmöglichkeitsbeweis? Wie funktioniert speziell unser Beweis?
   • die Zahl phi (goldener Schnitt) und ihre algebraischen Eigenschaften
   • definieren einer Gewichtung und "kennenlernen" dieser
3. Zirkel: Solitär
   • nötigen Eigenschaften der Gewichtung vom letzten Zirkel gezeigt, Beweis beendet
   • die geometrische Reihe
4. Zirkel: Goldener Schnitt und geometrische Reihe
   • goldener Schnitt an geometrischen Figuren (z.B. Fünfeck)
   • Anwendung der geometrischen Reihe bei Fraktalen
5. Zirkel: Weihnachtszirkel! (mit Plätzchen!)
   • das Kartenspiel "Eleusis"
6. Zirkel: Goldener Schnitt und geometrische Reihe
   • Aufgaben zum goldenen Schnitt ("betreutes Rechnen")
   • Goldene Fraktale
7. Zirkel: L-Systeme
   • Schneeflockenkurve (Inhalt der eingeschlossenen Fläche)
   • L-Systeme und "klassische" Fraktale
8. Zirkel: L-Systeme und Verwandetes
   • Wie findet man zu einem L-System?
   • außerdem Cantormenge und Drachenkurve
9. Zirkel: Zahlsysteme (Einführung)
   • natürliche und reelle Zahlen in verschiedenen Positionssystemen
   • Aufgabe zum Nachdenken für zu Hause:
     Es sei M die Menge der reellen Zahlen des Intervalls [0,1] , in deren Darstellung im Ternärsystem nur die Ziffern 0 und 2 auftauchen. Wie sieht M aus? (Skizzieren oder beschreiben.)
10. Zirkel: Zahlsysteme und Anwendungen
    • einige leichte Knobelaufgaben zu Zahlsystemen
    • die Cantormenge in Ternärdarstellung (das war die Aufgabe vom letzten Mal)
    • Aufgabe zum Nachdenken:
      Ist es möglich, 1983 verschiedene positive natürlich Zahlen zu finden, alle kleiner als 100.000, von denen keine drei in arithmetischer Folge stehen? (IMO 1983, B2)
11. Zirkel: Zahlsystem und Anwendungen
    • Aufgabe vom letzten Mal (IMO 1983, B2) (einmal ohne Zahlensysteme, einmal ohne mit)
    • Cantormenge "nach oben" als Lösung für Aufgabe B2
12. Zirkel: Induktion
    • Schülervortrag zum Thema Induktion (Ricky Burzlaff)
    • verschiedene Aufgaben zur Induktion
    • Aufgaben zum Nachdenken:
      1.) Auf einer geschlossenen (z.B. kreisförmigen) Strecke stehen n Autos. Sammelt man von allen Autos das Benzin ein, so reicht diese Menge an Benzin für eine Runde auf der Strecke. Zeige: Es gibt immer ein Auto, dass eine komplette Runde fahren kann, wenn es das Benzin von jedem Auto einsammelt, an dem es vorbeikommt.
      2.) Im Land Sikinia ist jede Straße eine Einbahnstraße. Je zwei Städte sind mit genau einer Straße verbunden. Zeige, dass es stets eine Stadt gibt (eine "Hauptstadt"), die von jeder anderen Stadt aus entweder direkt erreichbar ist, oder über höchstens eine andere Stadt.
13. Zirkel: Induktion
    • Aufgaben vom letzen Mal besprochen
    • L-Triominos auf Schachbrettern
    • "Umgekehrte" Induktion als Aufgabe (Induktion über die Anzahl der Wurzeln):
      sqrt(2*sqrt(3*sqrt(4...sqrt((N-1)*sqrt(N))...) < 3 (für festes natürliches N)
14. Zirkel: Induktion
    • Aufgabe vom letzten Mal besprochen (AM-GM-Ungleichung taucht auf)
    • "Unendliches Sudoku" (Ein unendliches Schachbrett der Form des ersten Quadranten soll mit natürlichen Zahlen belegt werden, so dass in jeder Reihe und jeder Spalte jede natürliche Zahl genau einmal vorkommt.)
    • weitere Aufgaben zur Induktion
15. Zirkel: Induktion, Ungleichungen
    • Rekursion als eine Art der Induktion zum Lösen kombinatorischer Aufgaben
    • Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
16. Zirkel: Hessesche Fläche und algebraische Geometrie
    • Schülervortrag zum Praktikum am mathematischen Institut über die Hessesche Fläche (Ricky Burzlaff)
    • dazu weiterführende und ergänzende Bemerkungen um das Thema besser einordnen zu können
17. Zirkel: Kombinatorische Logik
    • kombinatorische Logik im Stil vom
      Smullyan, Raymond: "Spottdrosseln und Metavögel"
18. Zirkel: Mathematische Rätsel- und Knobelaufgaben
    • Dirichletsches Schubfachprinzip: Anwendungen in Zahlentheorie, Könige auf schachbrett (minimale/maximaleAnzahl)
    • minimaler Abstand zweier (aus 5) Punkte im Quadrat der Seitenlänge 2 ist höchstens gleich sqrt(2).
    • Färbung von Graphen, Mittelpunkte von Gitterstrecken
19. Zirkel: Abschusszirkel zusammen mit Nadines Zirkel

Schuljahr 2005/06

• verschieden Matheolympiade-Aufgaben
• Vergleich von Aufgaben + Euklidischer Algorithmus
• Rechnen mit Kongruenzen
• Aufgaben zu Kongruenzen
• Lösen von lineare Kongruenzen
• Lösen von linearen Kongruenzen
• Lösen einiger Rätsel
• Lösen von diophantischen Gleichungen
• Pythagoräische Tripel
• Kleiner Satz von Fermat
• quadratische Gleichungen
• quadratische Ungleichungen, Satz von Vieta, Polynomdivision
• Aufgaben zu den Themen der letzten 2 Zirkel
• Zahlenbereiche
• Aufgaben + Geometrie
• Olympiade-Aufgaben (Geometrie)
• Konstruktion mit Zirkel und Lineal
• Geometrieaufgaben
• Geometrie