Übersicht von behandelte Zirkelthemen als Hilfestellung zur Themenwahl. Jahrgangsstufe 11-12.

Schuljahr 2008/09

Klasse 11

1. Zirkel:
   • Satz von Pick
   • Anwendungen: geometrische Berechnung des ggT, Eulerscher Polyedersatz
2. Zirkel: Folgen und Reihen: arithmetische, geometrische Folgen, einfache Differenzengleichungen, konjugierte Terme, Teleskopsummen
3. Zirkel:
   • Fortsetzung Folgen
   • Funktionalgleichungen: Systematische Behandlung von Gleichungen der Form f(x+y)=F(f(x),f(y))
4. Zirkel:
   • Aequivalenz von Funktionalgleichungen, Funktionalgleichungen fuer Funktionen in N
   • Geometrische Ungleichungen I: Isoperimetrische Ungleichung in der Ebene
5. Zirkel:
   • Bonnesen's Ungleichung
   • Ungleichungen an Dreieck und Viereck
6. Zirkel: Weihnachtszirkel
7. Zirkel:
   • Besprechung einiger Aufgaben
   • rationale Punkte auf quadratischen Kurven, Methode der rationalen Steigung
   • rationale Punkte auf der Einheitssphaere, pythagoraeische Tripel
   • Fermat's Methode des unendlichen Abstiegs am Beispiel a^4+b^4=c^2
8. Zirkel:
   • Besprechung Aufgaben zu pythagoraeischen Tripeln
   • Die 120-Grad-Verwandten der pythagoraeischen Tripel
   • Ganzzahlige Punkte auf der Taxikurve x^3+y^3=m : Explizite Loesung fuer m=1729, allgemeine Abschaetzung fuer ganzzahlige Loesungen
   • Aufgaben
9. Zirkel: Mittelwerte
10. Zirkel: Burnside Lemma, Färbungen
11. Zirkel: Burnside Lemma, Färbungen
12. Zirkel: Polyas Abzählsatz
13. Zirkel: Cantor-Menge
14. Zirkel: Wdh: Kongruenzrechnung, Euklidischer Algorithmus; RSA-Verschlüsselung
15. Zirkel: Quantenkryptographie
16. Zirkel: Differenzengleichungen

Schuljahr 2007/08

Klasse 11 und 12

1. Zirkel
   • Wdh: (erweiterter) Euklidischer Algorithmus, Kongruenzrechnung, Methode des unendlichen Abstiegs
2. Zirkel
   • Pellsche Gleichung: unendlich viele Lösungen
   • Einführung in Kettenbrüche
   • HA: natürliche Lösungen von 2^x-5^^y=7
3. Zirkel
   • Approximation von Kettenbrüchen
   • Kettenbruchentwicklung von: (1+D^2)^(1/2)
   • Minimallösung der Pellschen Gleichung: x^2-(1+D^2)y^2=1
   • HA: natürliche Lösungen von 2^x-11^y=5
4. Zirkel
   • Aufgabenlösung zur Vorbereitung der Matheolympiade
5. Zirkel
   • Schubfachprinzip ("normales", stetiges, unendliches)
   • Gitter im R^n
6. Zirkel
   • Gitter im R^n , Minkowskis Lemma und Folgerungen
   • Gruppen
7. Zirkel
   • Untergruppen, Satz von Lagrange
   • multiplikative Gruppe der invertierbaren Elemente mod n
8. Zirkel
   • Satz von Euler-Fermat (Beweis mittels Minkowskis Lemma)
   • Skalarprodukt und Anwendungen
9. Zirkel: Extremalprinzip
10. Zirkel: Vorbereitung MO
11. Zirkel: Besprechung der MO-Aufgaben
12. Zirkel: Einheitswurzeln
13. Zirkel: Einheitswurzeln und Summen von Binomialkoeffizienten
14. Zirkel: Konstruktionen nur mit dem Zirkel (Mascheroni)
15. Zirkel: Konstruktionen nur mit dem Zirkel (Mascheroni) Teil II
16. Zirkel
    • Konstruktionen nur mit dem Zirkel (Mascheroni) Teil III
    • Gergonne- und Nagelpunkt im Dreieck, isotomisch konjugierte Punkte
    • trilineare Koordinaten

Schuljahr 2006/07

Klasse 11

1. Ungleichungen
   • Cauchy-Schwarz, arithmetisches-geometrisches Mittel (mit Induktionsbeweis), Rearrangement,
   • symmetrische und homogene Ungleichungen
2. Ungleichungen/ Ungleichungen im Dreieck
   • Anwendungen zu den Ungleichungen vom letzten Mal
   • verschiedene Formulierungen der Dreiecksungleichungen
   • Wiederholung elementarer Saetze ueber das Dreieck
3. Ungleichungen/ Ungleichungen im Dreieck
   • Jensensche Ungleichung
   • Ungleichungen mit Winkeln (Additionstheoreme)
4. Ungleichungen im Dreieck
5. Weihnachtszirkel
   • Kartenspiel 'Eleusis'
6. Symmetrien und Gruppen
   • Gruppenbegriff und Eigenschaften
   • Symmetriegruppe des Quadrates und anderer regelmaessiger Vielecke
   • Untergruppen, Satz von Lagrange
7. Gruppen und Permutationen
   • Symmetriegruppen von Bandornamenten
   • Gruppen mit drei und vier Elementen
   • verknuepfungstafeln
   • Permutationen
8. Schwerpunkt, Inkugelmittelpunkt, Umkugelmittelpunkt im Tetraeder
9. Hoehenschnittpunkt in orthozentrischen Tetraedern
10. Eulersche Gerade und Feuerbachscher Kreis,
11. Eulersche Gerade und 12-Punkte-Kugel im orthozentrischen Tetraeder

Schuljahr 2005/06

Zirkel 12 A

• Geometrie: Kreise und Sehnenvierecken. Anwendungen
• Geometrie: Strahlensatz,Sätze von Ceva, Menelaos,Pythagoras und Anwendungen

Zirkel 12 B

• Lösung, Diskussion, Ausschmückung von MO- und BWM-Aufgaben;
• berechne 1+1/(1+1/(1+1/...)), Fibonacci-Zahlen, Grenzwertbetrachtungen;
• weitere MO-Aufgaben, Aufgaben mit Kreisen;
• Schnitt von Seitenhalbierenden und Höhen im Dreieck, Eulersche Gerade, Feuerbachscher Kreis;
• Banach-Tarski-Paradoxon: Unendlichkeiten, Überabzählbarkeit der reellen Zahlen, paradoxe Zerlegung von Kreis und Sphäre, freie Gruppe, Beweis des Paradoxons
• Dirichletsches Schubfachprinzip, Beweisen durch Färben, Beweis des 5-Farben-Satzes