Übersicht von behandelte Zirkelthemen als Hilfestellung zur Themenwahl. Jahrgangsstufe 10.

Schuljahr 2006/07

Kurven höherer Ordnung.

Schuljahr 2005/06

Zirkel A.

1. Zirkel
   • Komplexe Zahlen zunächst als Lösungen quadratischer Gleichungen eingeführt (dazu Verweis auf die Einführung von reellen Wurzeln)
   • folgende Operationen algebraisch und geometrisch eingeführt: Real- und Imaginärteil, Addition, Bildung des Negativen, Subtraktion, Betrag, Argument (nur geometrisch), Konjugation
   • nur algebraisch eingeführt: Multiplikation, Inversenbildung (geometrische Interpretation dazu später)
   • Einheitskreis als |z| = 1 eingeführt und mit Gleichung in kartesischen Koordinaten verglichen, mittels pythagoräischer Tripel rationale komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis gefunden
2. Zirkel
   • Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen, geometrische Interpretation
   • Einführung in Sinus und Kosinus:
     • einfache Eigenschaften (Periodizität, Punkt- bzw. Achsensysmmetrien, Sinus durch Kosinus ausdrücken und umgekehrt)
     • "trigonometrischer Pythagoras"
     • (Ko-)Sinuswerte für ganzzahlige Vielfache pi/6 und pi/4 bestimmt, teilweise mit dem trigonometrischen Pythagoras
     • Einheitswurzeln kurz eingeführt und geometrisch veranschaulicht, Werte für Einheitswurzeln mittels Sinus- und Kosinuswerten gewonnen
     • Additionstheoreme (Beweis steht noch aus)
     • mittels Additionstheoremen als Beispiel den Sinuswert pi/12 bestimmt, weitere als Übung
     • unter anderem als Übung gestellt: Finden von Formeln für sin(2x), cos(2x), sin(3x), cos(3x), bzw. allgemein für sin(nx), cos(nx) mit Moivre (zunächst für die Übung vom Himmel gefallen), sowie der Produkt- und damit Halbwinkelformeln
3. Zirkel
   • geometrischer Beweis der Additionstheoreme und Herleiten der Beziehung arg zw = arg z + arg w
   • geometrische Interpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen
   • Formel von Moivre erklärt: Warum bilden n-ten Einheitswurzeln gerade die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks, das dem Einheitskreis eingeschrieben ist?
   • Rechnen mit Einheitswurzeln
   • Einheitswurzeln mittels Primitivwurzeln bestimmen
4. Zirkel
   • Satz von Vieta
   • Summen von Binomialkoeffizienten und weitere Anwendungen
   • Rechnen mit Einheitswurzeln, Gruppenisomorphimus zur additiven Gruppe Z/nZ
   • "Die kürzeste Verbindung zwischen zwei reellen Größen geht über das Komplexe."
5. Zirkel
   • nocheinmal an wichtige Sätze und Konzepte erinnert, teilweise wiederholt und angewendet:
     • komplexe Zahlen, verschiedene Darstellungen
     • Sinus/Kosinus, Additionstheoreme, trig. Pythagoras
     • Formel von Moivre und damit Halb- und Doppelwinkelformeln
     • Einheitswurzeln durch sukzessives Lösen quadratischer Gleichungen berechnen
     • Satz von Vieta
6. Zirkel
   • Kreisteilungspolynom in reellen Koeffizienten (d.h. in (z - z_0)(z - z1)(z - z_{n-1}) lediglich (z - z_a) und (z - z_{n-a}) zusammenfassen, für a = 1 ... n-1, a != n/2
   • dazu Anwendung: Produkte der Art sin(Pi/2m)sin(2Pi/2m)...sin((m-1)Pi/2m) = sqrt(m)/2^{m-1}
   • nächstes Thema: Geometrie und komplexe Zahlen
   • Koordinaten von regelmäßigen n-Ecken berechnen (wenn z.B. zwei benachbarte Ecken schon gegeben sind)
   • für orientierte Dreiecke gilt: PQR ist gleichseitig <=> P + wQ + w^2R = 0 (wobei w erste dritte Einheitswurzel)
   • einfacher Satz von Napoleon
   • für P, Q und R = (1-c)P + cQ ist PQR ähnlich zu dem Dreieck aus 0, 1 und c (und gleich orientiert)

Zirkel B.

Es ist geplant einen, Zirkel zum Thema Komputistik (Kalenderrechnung) durchzuführen. Mögliche Themen: Wochentags- und Mondphasenberechnung im julianischen und gregorianischen Kalender; Sonnenfinsternisberechnung mit Saroszyklus, Berechnung des Ostertermins (computus ecclesiasticus), Schaltregelung und Kalenderreform. Diese Themen sollen auch als Anlass genommen werden, Konzepte der höheren Mathematik einzuführen, wie Gruppentheorie oder Kettenbrüche.

Da keine mathematischen Vorkenntnisse erforderlich sind, ist der Zirkel für alle Altersgruppen geeignet.