Mathematische Notation


Johannes Waldmann im VL 2010

Schwerpunkt ist hier nicht das Lösen von Aufgaben (= das Finden von Ideen), sondern das formal richtige Hinschreiben. Dazu braucht man die Sprache der Mathematik.

Jede Sprache ist gekennzeichnet durch:
  • Lexik (Wortbau),
  • Syntax (Satzbau),
  • Semantik (Bedeutung),
  • Pragmatik (Angemessenheit des Ausdrucks).
Diskussion für natürliche Sprachen, Programmiersprachen, mathematische Logik.
Nur für formale (künstliche) Sprachen kann man exakte Semantik festlegen. Mathematiker sprechen/schreiben oft scheinbar informal, aber alle wissen, was formal gemeint ist. Das muß man aber gelernt haben.

Definition der Syntax f. (prädikatenlogische) Formel (mit Hilfsbegriff Term) als Baumstruktur:
  • Term:
    • einfach: Variable,
    • zusammengesetzt: Funktionssymbol mit Termen als Argumenten
  • Formel:
    • einfach: Relationssymbol mit Termen als Argumenten
    • zusammengesetzt:
      • (aussagenlog.) Junktor mit Formeln als Argumenten
      • Quantor (deklariert lokale Variable) mit Formel als Argument

Datentypen der Mathematik (Bsp.)
  • konkret: Bsp. Menge, Funktion, Folge. Beachte dabei: Notation für Mengen durch "Comprehension" { x | P(x) }. Ähnlich wie bei Quantoren wird dadurch lokale Variable deklariert.
  • abstrakt: Bsp. Halbordnung (Bsp: kleinergleich auf Zahlen, Teilmenge, Präfix auf Folgen), Definition immer: a <= b iff exists c : a op c = b (für jeweils andere Operation op)

Anwendungen/Beispiele:
  • exakte Formulierung des Schubfachschlusses (als Formel)
  • jede Teilmenge von {1, .. , 2 . n} mit mehr als n Elementen enthält zwei verschiedene Elemente, von denen eines das andere teilt. Die Schranke ist scharf. Beweis: benutze Bijektion x <-> 2^y . z (für x >= 1, z ungerade), dann z als Schubfach.
  • Jedes System S von Teilmengen von A = { 1, .., n } mit mehr als { n \choose \lfloor n/2 \rfloor } Elementen (Mengen) enthält zwei verschiedene Elemente (Mengen), von denen die eine echte Teilmenge der anderen ist. (Satz von Sperner) Beweis (nicht vorgeführt): zähle maximale aufsteigende Ketten (von \emptyset nach A) durch Elemente von S. Quelle: Chap. 22 von Aigner/Ziegler: Book of Proofs, Springer, 2002.

(hätte man auch noch machen können):

  • Jede Halbordnung mit > a . b Elementen enthält Kette mit > a oder Antikette mit > b Elementen. Anwendung: aufst./abst. Teilfolge.
    Beweis: betrachte max. Länge einer aufsteigenden Kette ab jedem Element. Diese Zahl als Nr. des Schubfaches.
    Quelle: Chap. 21.2 ebenda.
  • Für jeden Wurf von n roten und n blauen Würfeln mit Zahlen 1 .. n gibt es eine nichtleere rote und eine blaue Teilmenge mit übereinstimmender Augensumme.
    Beweis benutzt Schubfach-Argument.
    Quelle: "Red and Blue Dice" aus Peter Winkler: Mathematical Mind-Benders, A.K.Peters 2007