Aufgabe des Monats - Schuljahr 1997/98
Aufgabe des Monats September
- Klasse 6 - 7:
-
Jedes der 16 Klassenzimmer einer Schule hat
gleichviele Stühle. Aus jedem Klassenzimmer trägt man 8
Stühle in die Aula. Nun sind in den 16 Klassenzimmern noch so
viele Stühle, wie vorher in 12 Klassenzimmern waren. In den
übrigen Räumen der Schule sind noch weitere 38
Stühle. Über wieviel Stühle verfügt diese Schule ?
- Klasse 8 - 9:
-
Gesucht sind alle vierstelligen natürlichen Zahlen mit folgender
Eigenschaft: Die Summe aus der betreffenden Zahl selbst, ihrer
Quersumme und der ersten und letzten Ziffer beträgt 5900.
- Klasse 10 - 12:
-
Einem Kreis k mit dem Radius r wurde
ein Quadrat einbeschrieben, d.h. die Ecken des Quadrats liegen auf der
Peripherie des Kreises. Wieviel Prozent vom Flächeninhalt des
Kreises beträgt der Flächeninhalt dieses Quadrats ?
Aufgabe des Monats Oktober
- Klasse 6 - 7:
-
In einer alten Aufgabensammlung wird das Urteil des Paris
folgendermaßen beschrieben:
Die Göttinen Hera, Aphrodite und Athene fragen den klugen Paris,
wer von ihnen die Schönste sei. Sie machen folgende drei
Aussagen:
Aphrodite: "Ich bin die Schönste."
Athene: "Aphrodite ist nicht die Schönste."
Hera: "Ich bin die Schönste."
Aphrodite: "Hera ist nicht die Schönste."
Athene: "Ich bin die Schönste."
Paris, der am Wegesrand ausruht, hält es nicht der Mühe
wert, das Tuch, das seine Augen vor den Sonnenstrahlen schützt,
zu entfernen. Er soll aber genau eine der Göttinnen als
Schönste feststellen.
Dabei setzt er voraus, daß alle Aussagen dieser Schönsten
wahr, alle Aussagen der beiden anderen Göttinnen aber falsch
sind.
Kann Paris unter diesen Voraussetzungen die von ihm geforderte
Feststellung erhalten ? Wenn ja, wie lautet diese ?
- Klasse 8 - 9:
-
In einem Dreieck ABC seien W(BAC)=50° und W(ACB)=50°. Im Inneren des
Dreiecks sei ein Punkt M so gegeben, daß W(MCA)=10° und
W(MBA)=40° sind.
Berechne daraus W(BMA).
(Hierbei steht W(XYZ) für die
Winkelgröße des Winkels XYZ)
- Klasse 10 - 12:
-
Bestimmen Sie für jede ganze Zahl n den größten
gemeinsamen Teiler gcd(17n+2,11n+7). Beweisen Sie Ihre Aussage.
Aufgabe des Monats November
- Klasse 6 - 7:
- Untersuche, für welche natürlichen Zahlen n es
ein Polyeder, d.h. einen ebenflächig begrenzten Körper, mit
genau n Kanten gibt und erkläre, wie man jeweils einen
solchen Körper bauen kann.
- Klasse 8 - 9:
-
Finde alle 12-stelligen natürlichen Zahlen 2525******89, die eine
Quadratzahl sind.
- Klasse 10 - 12:
-
P sei ein Polyeder, dessen Seitenflächen
regelmäßige Fünf- und Sechsecke sind. Dabei ist jedes
Fünfeck nur von Sechsecken umgeben, während an die Sechsecke
abwechselnd Fünf- und Sechsecke angrenzen. Man beweise, daß
es nur ein solches Polyeder gibt; dieses gleicht einem
gewöhnlichen Fußball.
Aufgaben des Monats Dezember
Weihnachtsaufgaben für Klasse 5-10, erdacht und gesammelt von
Dr. Horst Hunecke:
- Der Weihnachtsmann hat in seinem Sack Äpfel. Er begegnet
drei Kindern und gibt dem ersten Kind von den Äpfeln die
Hälfte und noch zwei dazu. Von den restlichen Äpfeln gibt er
dem zweiten Kind die Hälfte und noch zwei dazu. Von den nun noch
verbliebenen Äpfeln gibt er schließlich dem dritten Kind
auch die Hälfte und noch zwei dazu. Danach ist ihm genau ein
Apfel verblieben.
Wieviele Äpfel hatte der Weihnachtsmann anfangs in seinem Sack ?
- In einer Scheune des Weihnachtsmanns befinden sich Zwerge und
Rentiere. Man zählt insgesamt 15 Köpfe und 42
Beine. Wieviele Zwerge und wieviele Rentiere sind in der Scheune ?
- Anne hat eine Schale voller Haselnüsse. Teilt sie diese in
Häufchen zu je 13 Nüssen, so bleiben 9 übrig. Teilt sie
diese in Häufchen zu je 17 Nüssen, so bleiben 14
übrig. Wieviele Nüsse hat Anne ?
Und hier eine Neujahrsaufgabe für Klasse 11-12:
z(m) sei die Anzahl der Primfaktoren 2 in (m!). Zeige, daß es
unendlich viele natürliche Zahlen m gibt, so daß
m-z(m)=1998 gilt.
Aufgabe des Monats Januar
- Klasse 5 - 7:
-
Mit zwei Baggern wird eine Arbeit in 12 Tagen ausgeführt. Mit dem
ersten Bagger allein würde sie 20 Tage dauern. In wieviel Tagen
könnte sie allein mit dem zweiten Bagger ausgeführt werden ?
Begründe deine Antwort !
- Klasse 8 - 9:
- Kann man in ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 9:16 ein
Rechteck mit dem Seitenverhältnis 4:7 so einbeschreiben,
daß auf jeder Seite des ersten Rechtecks ein Punkt des
einbeschriebenen liegt ?
- Klasse 10 - 12:
- 5 Kugeln mit gleichem Radius seien so auf einer Ebene
zusammengelegt, daß sich benachbarte Kugeln berühren und
ihre Mittelpunkte ein regelmäßiges Fünfeck
bilden. Eine sechste gleichgroße Kugel liegt in der Mitte
obenauf. Bestimmen Sie, ob der tiefstgelegene Punkt dieser sechsten
Kugel oberhalb, in oder unterhalb der Ebene durch die Mittelpunkte der
fünf unteren Kugeln liegt ?
Aufgabe des Monats Februar
- Klasse 5 - 7:
- Bei einem Einkauf wurde der Preis von 170 DM mit genau 12
Geldscheinen bezahlt, und zwar ausschließlich in 10- und
20-DM-Scheinen. Ermittle, wieviele Scheine jeder der beiden Sorten
über den Kassentisch gingen !
- Klasse 8 - 9:
- Kann man in ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 9:16 ein
Rechteck mit dem Seitenverhältnis 4:7 so einbeschreiben,
daß auf jeder Seite des ersten Rechtecks ein Punkt des
einbeschriebenen liegt ?
- Klasse 10 - 12:
- 5 Kugeln mit gleichem Radius seien so auf einer Ebene
zusammengelegt, daß sich benachbarte Kugeln berühren und
ihre Mittelpunkte ein regelmäßiges Fünfeck
bilden. Eine sechste gleichgroße Kugel liegt in der Mitte
obenauf. Bestimmen Sie, ob der tiefstgelegene Punkt dieser sechsten
Kugel oberhalb, in oder unterhalb der Ebene durch die Mittelpunkte der
fünf unteren Kugeln liegt ?
Aufgabe des Monats März
- Klasse 5 - 7:
- Michael behauptet, daß er eine vierstellige Zahl kennt, die
bei Division durch 2 den Rest 1, durch 3 den Rest 2, durch 4 den Rest
3, durch 5 den Rest 4, durch 6 den Rest 5, durch 7 den Rest 6, durch 8
den Rest 7 und schließlich bei Division durch 9 den Rest 8
läßt.
a) Zeige, daß Michael recht hat, indem Du auch eine solche Zahl
findest.
b) Wieviele solche vierstelligen Zahlen gibt es insgesamt ?
- Klasse 8 - 9:
- Zeige, daß ein Viereck mit einer Symmetrieachse stets einen
Inkreis oder einen Umkreis hat.
- Klasse 10 - 12:
-
Betimmen Sie zu drei gegebenen Punkten A, B, C der Ebene einen vierten
Punkt D so, daß das Viereck ABCD sowohl einen In- als auch einen
Umkreis besitzt. Beschreiben Sie dazu, wie man einen solchen Punkt D
konstruieren kann und beweisen Sie, daß Ihr Verfahren genau alle
Punkte D mit den geforderten Eigenschaften liefert.
Aufgabe des Monats April
- Klasse 5 - 7:
- 21.4.98: Leider hatte sich ein Druckfehler eingeschlichen, auf
den mich Herr Berlich aufmerksam gemacht hat. Richtig muß die
Aufgabe heißen:
- Im Dreieck ABC seien W(BAC)=50° und W(ABC)=80°. Dabei steht
W(BAC) für die Größe des Winkels BAC. Im Inneren des
Dreiecks sei ein Punkt M so gelegen, daß W(MAB)=20° und
W(MCA)=30° gilt. Berechne daraus W(BMA) !
- Klasse 8 - 9:
- Zeige, daß ein Viereck mit einer Symmetrieachse stets einen
Inkreis oder einen Umkreis hat.
- Klasse 10 - 12:
-
Betimmen Sie zu drei gegebenen Punkten A, B, C der Ebene einen vierten
Punkt D so, daß das Viereck ABCD sowohl einen In- als auch einen
Umkreis besitzt. Beschreiben Sie dazu, wie man einen solchen Punkt D
konstruieren kann und beweisen Sie, daß Ihr Verfahren genau alle
Punkte D mit den geforderten Eigenschaften liefert.
Aufgabe des Monats Mai
- Klasse 5 - 7:
- Leider hatte sich in die Aufgabe des Monats April ein Druckfehler
eingeschlichen. Ich stelle die richtige Aufgabe deshalb in diesem
Monat noch einmal.
- Im Dreieck ABC seien W(BAC)=50° und W(ABC)=80°. Dabei steht
W(BAC) für die Größe des Winkels BAC. Im Inneren des
Dreiecks sei ein Punkt M so gelegen, daß W(MAB)=20° und
W(MCA)=30° gilt. Berechne daraus W(BMA) !
- Klasse 8 - 9:
- Jeder von Euch weiß, wie man die Winkelhalbierende eines
Winkels konstruiert, d.h. diesen mit Zirkel und Lineal in zwei
gleiche Teile teilt.
Ein interessantes Ergebnis der Mathematik besagt, daß es kein
Verfahren gibt, mit dem man einen Winkel unbekannter Größe
mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile teilen kann.
Allerdings kann man spezielle Winkel in drei gleiche Teile
teilen, z.B. einen Winkel von 90° (90°/3 = 30° = 90°-60° und ein
Winkel von 60° kommt im gleichseitigen Dreieck vor, das man mit Zirkel
und Lineal konstruieren kann, trage diesen Winkel nun an den von 90°
nach innen an) oder einen von 72° (beachte, daß 72°-60° = 12°
gilt).
Zeige, daß man auch einen Winkel von 54° mit Zirkel und Lineal
in drei gleiche Teile teilen kann.
- Klasse 10 - 12:
- In einem Rechteck mit den Seitenlängen 20 und 25 befinden
sich 120 Quadrate mit der Seitenlänge 1. Zeigen Sie, daß es
in diesem Rechteck einen Kreis mit dem Durchmesser 1 gibt, der keine
Punkte der Quadrate enthält.
Aufgabe des Monats Juni
- Klasse 5 - 7:
- Untersuche, ob es ein Vielfaches der Zahl 1221 gibt, das nur aus
Einsen besteht. Gibt es auch ein solches Vielfaches der Zahl 121 ?
- Klasse 8 - 9:
- Jeder von Euch weiß, wie man die Winkelhalbierende eines
Winkels konstruiert, d.h. diesen mit Zirkel und Lineal in zwei
gleiche Teile teilt.
Ein interessantes Ergebnis der Mathematik besagt, daß es kein
Verfahren gibt, mit dem man einen Winkel unbekannter Größe
mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile teilen kann.
Allerdings kann man spezielle Winkel in drei gleiche Teile
teilen, z.B. einen Winkel von 90° (90°/3 = 30° = 90°-60° und ein
Winkel von 60° kommt im gleichseitigen Dreieck vor, das man mit Zirkel
und Lineal konstruieren kann, trage diesen Winkel nun an den von 90°
nach innen an) oder einen von 72° (beachte, daß 72°-60° = 12°
gilt, woraus man einen Winkel der Größe 72°/3=24° durch
Verdoppeln erhält).
Zeige, daß man auch einen Winkel von 54° mit Zirkel und Lineal
in drei gleiche Teile teilen kann.
- Klasse 10 - 12:
- In einem Rechteck mit den Seitenlängen 20 und 25 befinden
sich 120 Quadrate mit der Seitenlänge 1. Zeigen Sie, daß es
in diesem Rechteck einen Kreis mit dem Durchmesser 1 gibt, der keine
Punkte der Quadrate enthält.
Aufgabe des Monats Juli/August
- Klasse 5 - 7:
- Zwei Schüler haben inzwischen herausgefunden, daß
91*1221=111111 gilt. Daß es auch ein Vielfaches von 121 gibt,
das nur aus Einsen besteht, hat noch keiner herausgefunden. Ich stelle
diese Frage deshalb noch einmal:
- Untersuche, ob es ein Vielfaches der Zahl 121 gibt, das nur aus
Einsen besteht.
- Und hier noch was Einfacheres:
- Über eine Zahl n < 1000000 wurden folgende Aussagen
gemacht:
- Anna:
- n ist höchstens zweistellig.
- n hat nur zwei Teiler, die Primzahlen sind.
- Bodo:
- n ist nicht durch 9 teilbar.
- n ist nicht durch 27 teilbar.
- Christine:
- n ist die Zahl 91809.
- n ist durch 101 teilbar.
Bestimme die Zahl n, wenn bekannt ist, daß jedes der
Kinder eine wahre und eine falsche Aussage über n
gemacht hat. Begründe Dein Ergebnis.
- Klasse 8 - 9:
- Auf den Seiten AB und BC eines Dreiecks ABC werden nach
außen Parallelogramme ABDE und BCFG angetragen. Die Geraden ED
und FG schneiden sich im Punkt M. Schließlich ist über der
Seite AC ein Parallelogramm ACKL angetragen, dessen Seiten AL und CK
so lang wie BM und zu BM parallel sind.
- Zeige, daß die Summe der Flächeninhalte der
Parallelogramme ABDE und BCFG mit dem Flächeninhalt des
Parallelogramms ACKL übereinstimmt.
- Klasse 10 - 12:
- Untersuchen Sie, ob es zu jeder Zahl n > 0 eine Zahl aus
n Ziffern 3 und je einer Ziffer 4, 6 und 7 gibt, die durch 7
teilbar ist.