Übersicht von behandelte Zirkelthemen als Hilfestellung zur Themenwahl. Jahrgangsstufe 8.

Schuljahr 2009/10

  • Restklassenrechnung / lineare Kongruenzen
  • diophantische Gleichungen
  • Vorbereitung Mathematik-Olympiade
  • Dirichlet'sches Schubfachprinzip, Polynomdivision
  • Geometrie
  • Geometrie / Ungleichungen
  • Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
  • Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Schuljahr 2008/09

  1. Zirkel:
    • Kennenlernen und Sammeln von Wünschen und Vorschlägen
    • kleine Knobelaufgaben und Beweise mittels Färbungen (als Anwendung des Invarianzprinzips)
    • Es taucht die Frage auf: Sind das überhaupt Beweise oder nur Spielereien? Was ist überhaupt ein Beweis?
      Spontaner kleiner Exkurs durch die Geschichte der Mathematik, die Entwicklung der Beweisidee und der Logik. Viele interessante Dinge konnten nur gestreift werden, daher hier noch einige weiterführende Bücher und Links für interessierte Schüler:
      • Simon Singh, "Fermats letzter Satz"
        Ein spannendes Buch über eine berühmte (nicht-lineare) diophantische Gleichung und einen Satz, der über dreihundert Jahre lang nicht bewiesen werden konnte. (Vielleicht teilweise nicht ganz einfach zu verstehen.)
      • Jean-Pierre Petit, "Das Geometrikon" und "Das schwarze Loch"
        Das sind sehr schöne Comics, in denen man z.B. lernt, warum die Innenwinkelsumme von Dreiecken auf einer Kugeloberfläche größer als 180º sein kann. Es geht aber auch um gekrümmte dreidimensionale Räume und um Wurmlöcher. Diese und andere spannende Comics von Jean-Pierre Petit kann man inzwischen kostenfrei als PDF herunterladen:
        http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/free_downloads.htm#allemand
        Unbedingt empfehlenswert!
      • Imre Lakatos, "Beweise und Widerlegungen"
        Ein sehr schönes Buch in Form eines Theaterstücks. Es geht zunächst um den Eulerschen Polyedersatz, aber eigentlich geht es um viel mehr: Es geht um mathematische Beweise, Gegenbeispiele als "Monster", Logik und Philosophie. Leider scheint das Buch nicht mehr im Handel erhältlich zu sein. In der Leipziger Stadtbibliothek findet man allerdings ein Exemplar.
        Geheimtip! ;)
      • Douglas R. Hofstadter, "Gödel, Escher, Bach"
        Gödel hat bewiesen, das die strenge logische Behandlung der Mathematik Grenzen hat. Dieses Buch schreibt über seine Ideen und Verbindungen zum Künstler M.C. Escher, sowie zu Johann Sebastian Bach.
        (Achtung, sehr dick, aber ingesamt ein sehr amüsantes und "buntes" Buch. Also eher was für die Ferien.)
  2. Zirkel:
    • Puzzles mit Tetrominos und Färbungsprinzip/Invarianzprinzip
    • Dreieckszahlen (d.h. Zahlen der Form 1/2*(n+1)*n), Quadratzahlen als Summe der ungeraden Zahlen
    • Offene Frage zum Nachdenken: Gibt es Dreieckszahlen, die auch Quadratzahlen sind?
    • Abzählstrategien und Unendlichkeit: Gibt es "mehr als" unendlich?
      • Irrationalität von Wurzel 2
      • Hilberts Hotel
      • Cantorsches Diagonalverfahren
    • Weiterführende Bücher und Links für interessierte Schüler:
      • John H. Conway, Richard K. Guy, "Zahlenzauber. Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen"
        In diesem Buch findet man sehr viel über "geometrische Zahlen" wie die Dreieckszahlen. Sehr nett zum Schmökern, mit vielen bunten Bildern. Die deutsche Ausgabe ist leider vergriffen, aber in der Leipziger Stadtbibliothek steht ein Exemplar.
      • Naum. J. Wilenkin, "Unterhaltsame Mengenlehre"
        Ein schönes Buch mit einem längeren Abschnitt über Unendlichkeit, welches auch einige Themen des ersten Zirkels wieder aufgreift.
  3. Zirkel:
    • Gibt es Dreieckszahlen, die auch Quadratzahlen sind?
    • finden quadratischer Dreieckszahlen mit einer Pellschen Gleichung (x^2 - dy^2 = 1)
    • Lösen der Pellschen Gleichung mittels Nährungsbrüchen für Wurzel(d)
    • Weiterführende Bücher und Links für interessierte Schüler:
      • behandelt wird die Frage der quadratischen Dreieckszahlen auch in dem Buch von Conway/Guy (siehe letzter Zirkel)
      • ein Skript über Dreieckszahlen (PDF), das aus einem Seminar zum Korrespondenzirkel von Herrn Bitterlich entstanden ist
      • in der Spektrum der Wissenschaft vom Januar 2001 gibt es einen amüsanten Artikel über das Rinderproblem des Archimedes ("Die Rinder des Sonnengottes")
      • von Friedrich Schwarz gibt es außerdem einen Artikel "Wieviele Rinder hat der Sonnengott?" (PDF), der die Lösung des Rinderproblems mit dem Computer-Algebra-System MuPAD vorführt
  4. Zirkel, Spielezirkel:
    • Racetrack (Autorennspiel), ein Spiel unbekannter Herkunft, das es in verschiedenen Varianten gibt, siehe Wikipedia: Racetrack, Racetrack kann man unter http://www.karopapier.de sogar online gegen andere spielen
    • Zu zweit spielen mit Pentominos, näheres wieder bei Wikipedia: Pentomino.
      Auf der Wikipedia-Seite gibt es auch eine Liste von kommerziellen Spielen mit Pentominos. Wer die Spiele nicht gleich kaufen, aber trotzdem ausprobieren möchte, kann z.B. Blokus in dem Spielecafé Triangel ausprobieren.
    • Kurz angespielt: eine Variante des Wythoff-Nims, näheres zum Spiel gibt es auf der sehr guten(aber englischen) Seite cut-the-knot: Wythoff's Nim, dort gibt es auch ein Java-Applet, mit dem man gegen den Computer spielen kann (hier gewinnt aber derjenige, der die Dame auf das letzte Feld bringen kann). Auf der Seite gibt es auch eine ausführliche Analyse zur Gewinnstrategie, vielleicht kann dies später auch im Zirkel behandelt werden. Eine deutsche Erläuterung zum Wythoff-Nim findet sich in dem Buch Der goldene Schnitt von Albrecht Beutelspacher und Bernhard Petri.
  5. Zirkel
    • Wege rekursiv zählen, ähnlich zum Pascalschen Dreieck
    • Was hat das Pascalsche Dreieck mit den binomischen Formeln zu tun? (Und warum?)
      Zum Pascalschen Dreieck findet man unzählige Seiten im Internet, also bei Interesse einfach mal googeln.
    • Wege in Graphen (nach dem Buch Die Reise nach Pentagonien von Ian Stewart)
  6. Zirkel
    • Diskussion der Aufgaben aus dem Mathekalender (www.mathekalender.de)
      • Strategie zur Lösung von Abzähl-/Wahrscheinlichkeitsaufgaben
      • Was sind Matrizen?
      • Wie löst man Ungleichungssysteme? (Fallunterscheidung)
  7. Zirkel Weihnachtszirkel
    • Spiel zum Kopfrechnen (weder Titel noch Quelle bekannt, ähnlich wie beim "Wortsuchspiel" bzw. "Wörter suchen")
    • Kartenspiel Set! (Wikipedia: Set!)
    • vermischte Rätselaufgaben
  8. Zirkel
    • Alkuins Fassverteilungsproblem:
      Als ein Vater im Sterben lag, gab er seinen Söhnen 30 Fässer, von denen 19 mit Wein gefüllt, 10 halbvoll und 10 leer waren. Teile den Wein und die Fässer so auf, dass jeder der drei Söhne gleich viele Fässer und gleich viel Wein bekommt.
      (Zitiert nach: Olivastro, Dominic: "Das chinesische Dreieck")
      • Wie erhält man eine Übersicht über alle Lösungen?
      • Wie viele Lösungen gibt es überhaupt?
      • Kann man die Lösungen durch ein Programm generieren?
    • Wie löst man Aufgaben der Form: MAUS + MAIS = SATT (wobei gleiche Buchstaben für gleiche Ziffern und verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern stehen)
    • Rätsel, die sich rekursiv lösen lassen
      Was macht man aber, wenn die Rekursion zu lange dauert?
      Erste Idee: Man programmiert den Taschenrechner.
  9. Zirkel
    • nochmal Alkuis Fassverteilungsproblem: Schülervortrag von René zum Programmieren des Taschenrechners
  10. Zirkel
    • kleiner Einblick in rekursive Vorschriften zur Erzeugung von Zahlenfolgen
  11. Zirkel
    • freies Arbeiten an vermischten Knobelaufgaben in Form von Stationen; grobe Themenübersicht:
      • Logik (nach Raymond Smullyan)
      • Zahlentheorie (Teilbarkeit und Moduln)
      • Wahrscheinlichkeit
      • Bewegungsgeometrie
      • aus Texten Gleichungen zur Lösung erfassen
  12. Zirkel
    • Mittelwerte, Teil 1: verschiedene Mittelwerte (für zwei Werte) an Beispielen und Knobelaufgaben entdecken und kennenlernen:
      • arithmetisches Mittel
      • geometrisches Mittel (Durchschnittsverzinsung)
      • harmonisches Mittel (Durchschnittsgeschwindigkeit)
    • Konstruktion der verschiedenen Mittel und geometrischer Vergleich am Thaleskreis
  13. Zirkel
    • Mittelwerte, Teil 2: Mittelungleichungen arithmetisch beweisen
    • Anwendungen der Mittelungleichungen zum Beweisen anderer Ungleichungen
  14. Zirkel
    • Quadratisches Mittel an einer geometrischen Aufgabe entdecken (Halbieren eines Trapezes)
    • Einordnung des quadratischen Mittels in die Mittelungleichungen
    • Knobelaufgabe zum intuitiven Umgang mit Wahrscheinlichkeiten:
      "Bellsucht" nach Bock-Bornholt; Dubben "Der Hund der Eier legt; Erkennen von Fehlinformationen durch Querdenken"
      (geschachtelte Wahrscheinlichkeiten mit Blick auf Satz von Bayes ohne explizite Nennung)
  15. Zirkel
  16. Zirkel
    • Zendo, zweite Runde
  17. Zirkel Abschlusszirkel
    • Besuch der Stadtrallye der LSGM im Rahmen des Wissenschaftssommers 2008; in Kürze:
      Schülerinnen und Schüler erkunden Leipzigs Innenstadt und entdecken dabei Mathematik vor der Haustür.


Schuljahr 2007/08

  • Spiele: Set, Squeeze und Snake
  • Aufgabe des Tages von Andrea, Dirichlets Schubfachfachprinzip, Aufgabe 31 aus Jahr der Wissenschaften (Volksstimme Magdeburg), Kubb
  • Sudoku, Kombinatorik (Lottogewinn), Knobelaufgabe, Jungle Jam
  • Knobelaufgaben, Dirichlets Schubfachprinzip, Formel 1
  • Hashiwokakero (aka Bridges), indirekter Beweis, Black Stories
  • Hashiwokakero, indirekter Beweis, Light Up
  • Aufgabe des Tages von Juliane, Rechnen mit Kongruenzen, Dirichlets Schubfachfachprinzip, Locotrax, Jungle Jam
  • Weihnachtsfeier mit Schrottwichteln und Black Stories sowie Keksen, Tee, Malzkaffee und anderen Leckereien
  • indirekter Beweis, Lunar Lockout
  • diophantische Gleichungen, Rush Hour
  • Rechnen mit Kongruenzen, Mind Food, Konflikt
  • diophantische Gleichungen, Rasende Roboter
  • Rechnen mit Kongruenzen, Game with no name
  • diophantische Gleichungen, Knobelaufgaben
  • Sudoku, Logik-Rätsel, Beweise mit Kongruenzen, Nimm-Spiel
  • Logik-Rätsel, diophantische Gleichungen, Set
  • Nimm-Spiel, Fan Tan, Zahlen in dualer Darstellung
  • Irrgärten, Satz von Viviani
  • Bank Transfer, Ziehen dritter Wurzeln ohne Taschenrechner
  • Rechentricks, Extremwertaufgaben
  • Extremwertaufgaben, Knobelaufgaben
  • Eisessen wegen unerträglicher Hitze
  • Knobelstationen
  • alte Matheolympiaden, Carcassonne
  • Mengenlehre, rasende Roboter

Schuljahr 2006/07

Zirkel A

  • Teilbarkeitsregeln, Summation nach Gauß
  • Aufgaben 1. Tag der Matheolympiade 04/05

Zirkel B

  1. Zirkel
    • indirekte Proportionalität: MO 440822
    • reguläres n-Eck, Innenwinkelsumme, Innenwinkelgröße, reguläres 5-Eck: 440823, goldener Schnitt (Rathaus Leipzig), Lösung von x^2 + x - 1 = 0
    • Rekursion: f(n+2)=f(n+1) +f(n): 440824, Fibonacci-Folge (Kaninchenvermehrung), Wachstum mit (sqrt(5)+1)/2
    • HA 440831 und 440832
  2. Zirkel
    • Lösung des linearen Gleichungssystems mit den Volumina A, B, C (440831)
    • Lösung von x +y +z +2 =xyz in natürlichen Zahlen (symmetrische Gleichungen und deren Lösungsmengen), systematisches Probieren (x=1, x=2), O.B.d.A. x <= y<=z, Ausnutzen von Ungleichungen zum Beweis, dass keine weitere Lösung existiert
    • Satz übers Sehnenviereck, Peripheriewinkelsatz
    • Paradoxon: Jedes Dreieck ist gleichschenkli
    • chnittpunkt von Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter liegt auf Umkreis
    • Ha 1: Konstruktion eines Dreiecks aus Winkelhalbierender, Höhe und Seitenhalbierender
    • Ha 2: Auf den Seiten eines Dreiecks ABC sind die Punkte P, Q, R beliebig gewählt. Zeige, dass die 3 Umkreise der 3 Dreiecke AQR, CPQ und BPR sich in einem Punkt schneiden (Sehnenviereckssatz)
  3. Zirkel
    • Konstruktion eines Dreiecks aus hc, wc und sc
    • Dreieckskonstruktion aus gamma, c, hc; Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes
    • Auf einer Uhr werden vebunden: 1 und 8 sowie 11 und 3. Welchen Winkel schließen die beiden Sehnen ein?
    • Wie groß ist der Kettenbruch x=1+1/(1+1/(1+1/(1+ ...)))?
  4. Zirkel
    • Modulrechnung, Rechnung mit Kongruenzen
  5. Zirkel
    • Fortsetzung der Modulrechnung
    • Vereinfachung von Termen
    • Knobelaufgaben
  6. Zirkel
    • Definition Polynom
    • Polynomdivision
    • Fortsetzung Termumformung
    • Logiktraining
  7. Zirkel
    • Indirekte Beweise
  8. Zirkel
    • Def. Kreis, Umkreis, Innkreis, Tangente, Sekante, Passante, Sehnenviereck, Satz des Thales...
    • Sinus, Cosinus
  9. Zirkel
    • kleine Einführung zum Kosinus
    • Rechnung mit Winkeln
  10. Zirkel
    • Lösung von Gleichungssystemen
    • Sachaufgaben
  11. Zirkel
    • Ungleichungen, systematisches Probieren, Anwendungasuafgaben
  12. Zirkel
    • Kombinatorik, z.B. Zahlenschloss u. ä.
  13. Zirkel
    • allerlei Knobelaufgaben, Thinkspiele
  14. Zirkel
    • Zahlenkreuzworträtsel
    • Achilles und die Schildkröte
    • "den letzten beißen die hunde"


Schuljahr 2005/06


  • Kennenlernen und Spiele (Brussel's Sprouts, Set)
  • Dirichlets Schubfachprinzip Teil 1 und Sudoku-Rätsel
  • Dirichlets Schubfachprinzip Teil 2 und Set
  • Sudoku-Rätsel, das Prinzip des indirekten Beweises und eine Knobelaufgabe
  • Schrottwichteln mit Knobelaufgaben, Sudoku-Rätsel, Lunar Lockout und Lebkuchen bis zum Abwinken
  • der indirekte Beweis, Knobelaufgaben, Sudoku-Rätsel und als Höhepunkt Jungle Jam
  • Knobelaufgaben, diophantische Gleichungen und Jungle Jam als häufig gewünschten Klassiker der Reaktionsspiele
  • Känguru 2000 (Klassenstufe 7 und 8)
  • Auswertung des Känguruwettbewerbs Klassenstufe 7 und 8 2000
  • Lösen von linearen diophantischen Gleichungen mit Hilfe des euklidischen Algorithmus
  • Einführung des Begriffs der Linearkombination und weiterhin Lösen von linearen diophantischen Gleichungen
  • weiterführende Aufgaben zu linearen diophantischen Gleichungen (Finden einer speziellen Lösung, Finden der allgemeinen Lösung)
  • Knobelaufgabe und Formel 1 (obwohl eigentlich noch ein paar diophantische Gleichungen behandelt werden sollten...)
  • Knobelaufgaben, diophantische Gleichungen und Papierboxen
  • Knobelaufgabe, Anwendungsaufgaben von diophantischen Gleichungen, Squeeze
  • Knobelaufgabe, Lösung von Extremwertaufgaben, Anwendungsaufgaben zu diophantischen Gleichungen, Jungle Jam
  • Knobelaufgaben, Extremwertaufgaben, MathArt