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Übersicht von behandelte Zirkelthemen als Hilfestellung zur Themenwahl. Jahrgangsstufe 11-12.

Schuljahr 2008/09

Klasse 11

  1. Zirkel:
    • Satz von Pick
    • Anwendungen: geometrische Berechnung des ggT, Eulerscher Polyedersatz
  2. Zirkel: Folgen und Reihen: arithmetische, geometrische Folgen, einfache Differenzengleichungen, konjugierte Terme, Teleskopsummen
  3. Zirkel:
    • Fortsetzung Folgen
    • Funktionalgleichungen: Systematische Behandlung von Gleichungen der Form f(x+y)=F(f(x),f(y))
  4. Zirkel:
    • Aequivalenz von Funktionalgleichungen, Funktionalgleichungen fuer Funktionen in N
    • Geometrische Ungleichungen I: Isoperimetrische Ungleichung in der Ebene
  5. Zirkel:
    • Bonnesen's Ungleichung
    • Ungleichungen an Dreieck und Viereck
  6. Zirkel: Weihnachtszirkel
  7. Zirkel:
    • Besprechung einiger Aufgaben
    • rationale Punkte auf quadratischen Kurven, Methode der rationalen Steigung
    • rationale Punkte auf der Einheitssphaere, pythagoraeische Tripel
    • Fermat's Methode des unendlichen Abstiegs am Beispiel a^4+b^4=c^2
  8. Zirkel:
    • Besprechung Aufgaben zu pythagoraeischen Tripeln
    • Die 120-Grad-Verwandten der pythagoraeischen Tripel
    • Ganzzahlige Punkte auf der Taxikurve x^3+y^3=m : Explizite Loesung fuer m=1729, allgemeine Abschaetzung fuer ganzzahlige Loesungen
    • Aufgaben
  9. Zirkel: Mittelwerte
  10. Zirkel: Burnside Lemma, Färbungen
  11. Zirkel: Burnside Lemma, Färbungen
  12. Zirkel: Polyas Abzählsatz
  13. Zirkel: Cantor-Menge
  14. Zirkel: Wdh: Kongruenzrechnung, Euklidischer Algorithmus; RSA-Verschlüsselung
  15. Zirkel: Quantenkryptographie
  16. Zirkel: Differenzengleichungen

Schuljahr 2007/08

Klasse 11 und 12
  1. Zirkel
    • Wdh: (erweiterter) Euklidischer Algorithmus, Kongruenzrechnung, Methode des unendlichen Abstiegs
  2. Zirkel
    • Pellsche Gleichung: unendlich viele Lösungen
    • Einführung in Kettenbrüche
    • HA: natürliche Lösungen von 2^x-5^^y=7
  3. Zirkel
    • Approximation von Kettenbrüchen
    • Kettenbruchentwicklung von: (1+D^2)^(1/2)
    • Minimallösung der Pellschen Gleichung: x^2-(1+D^2)y^2=1
    • HA: natürliche Lösungen von 2^x-11^y=5
  4. Zirkel
    • Aufgabenlösung zur Vorbereitung der Matheolympiade
  5. Zirkel
    • Schubfachprinzip ("normales", stetiges, unendliches)
    • Gitter im R^n
  6. Zirkel
    • Gitter im R^n , Minkowskis Lemma und Folgerungen
    • Gruppen
  7. Zirkel
    • Untergruppen, Satz von Lagrange
    • multiplikative Gruppe der invertierbaren Elemente mod n
  8. Zirkel
    • Satz von Euler-Fermat (Beweis mittels Minkowskis Lemma)
    • Skalarprodukt und Anwendungen
  9. Zirkel: Extremalprinzip
  10. Zirkel: Vorbereitung MO
  11. Zirkel: Besprechung der MO-Aufgaben
  12. Zirkel: Einheitswurzeln
  13. Zirkel: Einheitswurzeln und Summen von Binomialkoeffizienten
  14. Zirkel: Konstruktionen nur mit dem Zirkel (Mascheroni)
  15. Zirkel: Konstruktionen nur mit dem Zirkel (Mascheroni) Teil II
  16. Zirkel
    • Konstruktionen nur mit dem Zirkel (Mascheroni) Teil III
    • Gergonne- und Nagelpunkt im Dreieck, isotomisch konjugierte Punkte
    • trilineare Koordinaten

Schuljahr 2006/07

Klasse 11
  1. Ungleichungen
    • Cauchy-Schwarz, arithmetisches-geometrisches Mittel (mit Induktionsbeweis), Rearrangement,
    • symmetrische und homogene Ungleichungen
  2. Ungleichungen/ Ungleichungen im Dreieck
    • Anwendungen zu den Ungleichungen vom letzten Mal
    • verschiedene Formulierungen der Dreiecksungleichungen
    • Wiederholung elementarer Saetze ueber das Dreieck
  3. Ungleichungen/ Ungleichungen im Dreieck
    • Jensensche Ungleichung
    • Ungleichungen mit Winkeln (Additionstheoreme)
  4. Ungleichungen im Dreieck
  5. Weihnachtszirkel
    • Kartenspiel 'Eleusis'
  6. Symmetrien und Gruppen
    • Gruppenbegriff und Eigenschaften
    • Symmetriegruppe des Quadrates und anderer regelmaessiger Vielecke
    • Untergruppen, Satz von Lagrange
  7. Gruppen und Permutationen
    • Symmetriegruppen von Bandornamenten
    • Gruppen mit drei und vier Elementen
    • verknuepfungstafeln
    • Permutationen
  8. Schwerpunkt, Inkugelmittelpunkt, Umkugelmittelpunkt im Tetraeder
  9. Hoehenschnittpunkt in orthozentrischen Tetraedern
  10. Eulersche Gerade und Feuerbachscher Kreis,
  11. Eulersche Gerade und 12-Punkte-Kugel im orthozentrischen Tetraeder

Schuljahr 2005/06

Zirkel 12 A
  • Geometrie: Kreise und Sehnenvierecken. Anwendungen
  • Geometrie: Strahlensatz,Sätze von Ceva, Menelaos,Pythagoras und Anwendungen

Zirkel 12 B
  • Lösung, Diskussion, Ausschmückung von MO- und BWM-Aufgaben;
  • berechne 1+1/(1+1/(1+1/...)), Fibonacci-Zahlen, Grenzwertbetrachtungen;
  • weitere MO-Aufgaben, Aufgaben mit Kreisen;
  • Schnitt von Seitenhalbierenden und Höhen im Dreieck, Eulersche Gerade, Feuerbachscher Kreis;
  • Banach-Tarski-Paradoxon: Unendlichkeiten, Überabzählbarkeit der reellen Zahlen, paradoxe Zerlegung von Kreis und Sphäre, freie Gruppe, Beweis des Paradoxons
  • Dirichletsches Schubfachprinzip, Beweisen durch Färben, Beweis des 5-Farben-Satzes