Korrespondenzseminar Klasse 8 - 2006/07
Zirkelleiter: Prof. Hans-Gert Gräbe
Aufgabenblätter und Zusatzmaterialien
- Aufgabenserie 1 (Abgabetermin: 30.10.)
- Arbeitsmaterial "Dirichletsches Schubfachprinzip"
- Aufgabenserie 2 (Abgabetermin: 10.12.)
- Arbeitsmaterial "Rechnen mit Kongruenzen" Teil 1
- Arbeitsmaterial "Rechnen mit Kongruenzen" Teil 2
- Aufgabenserie 3 (Abgabetermin: 15.01.)
- Aufgabenserie 4 (Abgabetermin: 01.03.)
- Arbeitsmaterial "Lineare diophantische Gleichungen"
- Aufgabenserie 5 (Abgabetermin: 31.03.)
- Arbeitsmaterial "Ähnlichkeit von Dreiecken"
- Aufgabenserie 6 (Abgabetermin: 30.04.)
- Aufgabenserie 7 (Abgabetermin: 30.05.)
- Arbeitsmaterial "Beweisen von Ungleichungen"
- Aufgabenserie 8 (Abgabetermin: 01.07.)
Arbeitstreffen
1. Treffen
- Dirichletsches Schubfachprinzip
- Aufgaben aus dem Arbeitsmaterial
- Auf einer Party mit n Gästen gibt es zwei mit derselben Anzahl von Bekannten.
- Unter n Zahlen gibt es zwei, deren Differenz durch n teilbar ist.
- Zu n Zahlen gibt es eine Teilmenge, deren Summe durch n teilbar ist.
- Indirekte Beweise
- Beispiel: Wenn (a-b)/(a+b) ein unkürzbarer Bruch ist, so ist auch a/b ein unkürzbarer Bruch.
- Lösen von Ungleichungen
- Fallunterscheidung beim Durchmultiplizieren erforderlich
- Faktorzerlegung und die Methode der kritischen Punkte
- Zum Lösen linearer Kongruenzen
- Beispiele und Hauptsatz, siehe Arbeitsmaterial
2. Treffen
- Geometrieaufgaben zum Warmwerden
- Gegeben ist eine spezielle Figur in einem Thaleskreis. Es sind die Winkel zu bestimmen (Anwendung von Thalessatz, Zentriwinkelsatz)
- Von einem Drachenviereck ist bekannt: die Diagonalen und eine Seite sind alle gleichlang. Bestimme daraus die Innenwinkelgrößen.
- Ein gleichschenkliges Trapez wird durch eine Diagonale in zwei gleichschenklige Dreiecke geteilt. Bestimme die Größen der Innenwinkel.
- Geometrische Konstruktionsaufgaben
- Beispiel: Gegeben ist ein Dreieck ABC. Konstruiere Punkte X auf AC und Y auf BC (innere Punkte der jeweiligen Strecke), so dass |AX|=|XY|=|YC| gilt.
- Unterteilung einer Lösung:
- (0) Vorüberlegungen
- (1) Konstruktionsbeschreibung
- (2) Beweis (das Resultat der Konstruktion erfüllt die Bedingungen der Aufgabenstellung)
- (3) Vollständigkeitsnachweis (jede Lösung ergibt sich als Resultat einer solchen Konstruktion)
- (4) Determination (unter welchen Bedingungen ist die Konstruktion ausführbar, d.h. existieren Lösungen)
- Lineare diophantische Gleichungen
- Kurzer Überblick über das Arbeitsmaterial
3. Treffen
- Aufgabe 5-1
- Sehnensatz mit S außerhalb des Kreises, Sehnen-Tangentensatz.
- Ähnlichkeit. Ähnlichkeitslage. Wiederholung aus dem Arbeitsmaterial.
- Aufgabe 5-3
- Seitenhalbierende teilen Dreieck in sechs flächengleiche Dreiecke
- Seitenhalbierende von AB als geometrischer Ort der Punkte mit F(ACX)=F(BCX)
- Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks, d.h. F(ABS)=F(ACS)=F(BCS)
- räumliche Verallgemeinerung: Schwerpunkt eines Tetraeders und sich schneidende Geraden im Raum
- Graphen von stückweise linearen Funktionen
- grafisches Lösen von Gleichungen. |x-1|=2x+4
- Gauss-Klammer und Signum-Funktion: [x/2+4]=|2x|+1, [|x-1|]=sgn(2x-5)
- Methode der kritischen Punkte und Graphen
- Beispiele: 1-|x|, |x/3+2|, |1-|x||, x+|x-3|, |x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|+|x-5| usw.
4. Treffen
- Bestimmen von [1/(1-sqrt(2))], [1+pi], [1-pi]
- grafisches Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, Aufgaben 6.1 und 6.2
- Berührprobleme an Kreisen
- Kreise berühren sich genau dann in einem gemeinsamen Punkt P, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
- (1) die Tangenten an die beiden Kreise in P fallen zusammen
- (2) die Mittelpunkte der Kreise und P liegen auf einer Geraden
- Aufgabe Kreisbogendreieck: Strecke AB der Länge a, Kreisbögen um A durch B und um B durch A schneiden sich in C. In diesem Kreisbogendreieck ist ein Kreis einbeschrieben mit Radius r. Finde eine Formel, die r durch a ausdrückt. (Antwort: r = 3/8 a)
- Kreise berühren sich genau dann in einem gemeinsamen Punkt P, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
- Ungleichungen beweisen: (x^4+1)/x^2 >= 2