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Korrespondenzseminar Klasse 8 - 2006/07


Zirkelleiter: Prof. Hans-Gert Gräbe

Aufgabenblätter und Zusatzmaterialien



Arbeitstreffen


1. Treffen
  • Dirichletsches Schubfachprinzip
    • Aufgaben aus dem Arbeitsmaterial
    • Auf einer Party mit n Gästen gibt es zwei mit derselben Anzahl von Bekannten.
    • Unter n Zahlen gibt es zwei, deren Differenz durch n teilbar ist.
    • Zu n Zahlen gibt es eine Teilmenge, deren Summe durch n teilbar ist.
  • Indirekte Beweise
    • Beispiel: Wenn (a-b)/(a+b) ein unkürzbarer Bruch ist, so ist auch a/b ein unkürzbarer Bruch.
  • Lösen von Ungleichungen
    • Fallunterscheidung beim Durchmultiplizieren erforderlich
    • Faktorzerlegung und die Methode der kritischen Punkte
  • Zum Lösen linearer Kongruenzen
    • Beispiele und Hauptsatz, siehe Arbeitsmaterial

2. Treffen
  • Geometrieaufgaben zum Warmwerden
    • Gegeben ist eine spezielle Figur in einem Thaleskreis. Es sind die Winkel zu bestimmen (Anwendung von Thalessatz, Zentriwinkelsatz)
    • Von einem Drachenviereck ist bekannt: die Diagonalen und eine Seite sind alle gleichlang. Bestimme daraus die Innenwinkelgrößen.
    • Ein gleichschenkliges Trapez wird durch eine Diagonale in zwei gleichschenklige Dreiecke geteilt. Bestimme die Größen der Innenwinkel.
  • Geometrische Konstruktionsaufgaben
    • Beispiel: Gegeben ist ein Dreieck ABC. Konstruiere Punkte X auf AC und Y auf BC (innere Punkte der jeweiligen Strecke), so dass |AX|=|XY|=|YC| gilt.
    • Unterteilung einer Lösung:
      • (0) Vorüberlegungen
      • (1) Konstruktionsbeschreibung
      • (2) Beweis (das Resultat der Konstruktion erfüllt die Bedingungen der Aufgabenstellung)
      • (3) Vollständigkeitsnachweis (jede Lösung ergibt sich als Resultat einer solchen Konstruktion)
      • (4) Determination (unter welchen Bedingungen ist die Konstruktion ausführbar, d.h. existieren Lösungen)
  • Lineare diophantische Gleichungen
    • Kurzer Überblick über das Arbeitsmaterial

3. Treffen
  • Aufgabe 5-1
    • Sehnensatz mit S außerhalb des Kreises, Sehnen-Tangentensatz.
    • Ähnlichkeit. Ähnlichkeitslage. Wiederholung aus dem Arbeitsmaterial.
  • Aufgabe 5-3
    • Seitenhalbierende teilen Dreieck in sechs flächengleiche Dreiecke
    • Seitenhalbierende von AB als geometrischer Ort der Punkte mit F(ACX)=F(BCX)
    • Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks, d.h. F(ABS)=F(ACS)=F(BCS)
    • räumliche Verallgemeinerung: Schwerpunkt eines Tetraeders und sich schneidende Geraden im Raum
  • Graphen von stückweise linearen Funktionen
    • grafisches Lösen von Gleichungen. |x-1|=2x+4
    • Gauss-Klammer und Signum-Funktion: [x/2+4]=|2x|+1, [|x-1|]=sgn(2x-5)
    • Methode der kritischen Punkte und Graphen
    • Beispiele: 1-|x|, |x/3+2|, |1-|x||, x+|x-3|, |x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|+|x-5| usw.

4. Treffen
  • Bestimmen von [1/(1-sqrt(2))], [1+pi], [1-pi]
  • grafisches Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, Aufgaben 6.1 und 6.2
  • Berührprobleme an Kreisen
    • Kreise berühren sich genau dann in einem gemeinsamen Punkt P, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
      • (1) die Tangenten an die beiden Kreise in P fallen zusammen
      • (2) die Mittelpunkte der Kreise und P liegen auf einer Geraden
    • Aufgabe Kreisbogendreieck: Strecke AB der Länge a, Kreisbögen um A durch B und um B durch A schneiden sich in C. In diesem Kreisbogendreieck ist ein Kreis einbeschrieben mit Radius r. Finde eine Formel, die r durch a ausdrückt. (Antwort: r = 3/8 a)
  • Ungleichungen beweisen: (x^4+1)/x^2 >= 2