Tipps zu Serie 6, Augfgabe1.
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Ich denke, dass das angegebene Arbeitsmaterial auf Seite 17
in den Definitionen D(6) und D(7)  sehr gut die beiden Funktionen sgn(x) und
[x] definiert und auch gut grafisch darstellt. (Ich glaube, das Problem
liegt eher bei den *linearen Funktionen* und bei *grafischer Darstellung von
Funktionen* -- dazu später.)

        [u] = "größte ganze Zahl, kleiner gleich u."
[1/2] = 0, [-1/2] = -1, [n] = n für alle ganzen Zahlen n, [3,14159]= 3,
[-3,1419] = -4,....

[u] kann man sich auch als gerundeten Wert von u vorstellen, wobei immer
abgerundet wird auf die nächste ganze Zahl.

sgn(u) kann man sich als *Vorzeichen* von u vorstellen: +1, wenn u positiv,
-1, wenn u negativ und 0, wenn u=0.

Dementsprechend ist
         sgn(f(x)) = 1, wenn  f(x) > 0,
         sgn(f(x)) = 0, wenn  f(x) = 0,
         sgn(f(x)) = -1, wenn f(x) < 0.

Das ist auf Seite 18, oben, 3. Bild, sehr schön dargestellt: Man sucht sich
von der linearen Funktion f(x) = 2x -1 die Nullstelle, also wo die Funktion
die x-Achse schneidet -- das ist bei  x = 1/2.
Für alle x-Werte *rechts* von 1/2, also x > 1/2  ist f(x) > 0, also
sgn(f(x)) = +1, für alle x *links* von 1/2  also x < 1/2 ist f(x) < 0, also
sgn(f(x)) = -1.  Bei x =1/2 ist also sign(f(x)) = 0.

Die gepunktete Linie ist der Graph der linearen Funktion f(x) = 2x -1.


Also als Tipp für Serie 6, 1 b):
Wie sieht der Graph von f(x) = 2/3 x + 2 aus? Wo ist seine Nullstelle, wie
sieht daher sgn(2/3x +2) aus?


Bei der *Betragsfunktion* muss man bei der grafischen Methode stets *alles,
was unterhalb der x-Achse liegt nach oben klappen (spiegeln an der
x-Achse)*.
Auf diese Art erhält man |1/2 x -1|:
Erst den Graphen der linearen Funktion f(x) = 1/2 x -1 zeichnen,
Nullstelle suchen und alles, was *links* von der Nullstelle liegt
*hochklappen*.

Die *Summe* der beiden Graphen

        sgn(2/3 x +2)  +  |1/2 x -1|
 müsste man nun punktweise für jeden Wert von x durchführen. Man sieht aber
sehr schnell, dass das abschnittsweise immer Geradenabschnitte werden
( 3 Abschnitte: -unendlich bis 1. Nullstelle, dann bis 2. Nullstelle, dann
bis +unendlich)

Die *rechte Seite* der Ungleichung ist aufzufassen als *konstante Funktion*
g(x) = 3. Diese ist grafisch dargestellt eine parallele Gerade zur x-Achse.
Alle x-Werte, wo der Graph der linken Seite unterhalb dieser Geraden y = 3
liegt, ist Lösung der Ungleichung.