Liebe Schülerinnen und Schüler, liebe Eltern,

Beweise sind in der Mathematik das 'A und O'. Es gibt einfache, kurze, 
indirekte, komplizierte, lange, elegante, schöne Beweise. Das Reizvolle an 
Beweisen 
ist, dass sie in der Regel für den Leser logisch nachvollziehbar sind und 
für die 'Ewigkeit' gelten. Das ist bei einem Deutsch-Aufsatz anders oder 
in GRW oder wenn es um die 'beste' Ernährung geht...Hier ändern sich 
Meinungen, Anschauungen und Regeln ständig.
Beweise dagegen geben Sicherheit.


Drei sehr schöne zahlentheoretische indirekte Beweise sind hier 
dargestellt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_%28Mathematik%29

Dort ist auch (oben rechts) das allgemeine *Schema eines Beweises* 
genannt: 
aus den Voraussetzungen (Prämissen, grün) werden durch logisch korrekte 
Schlüsse weitere wahre Aussagen abgeleitet (grau) bis man bei der zu 
beweisenden Aussage (orange) ankommt.

Ob ein Beweis kann lang oder kurz ist, hängt auch wesentlich von den 
gemachten Voraussetzungen ab.

Beispiel zu Serie 5, Aufgabe 2. 
Satz: Ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und bei dem die 
Diagonalen gleich lang sind, ist ein Rechteck.


Es sei ABCD das Viereck mit Diagonalenschnittpunkt M
Vor. AM = BM = CM = DM.

Beweis 1 (mit Hilfe des Satzes des Thales: Jeder Peripheriewinkel über 
einem Durchmesser ist ein rechter Winkel).
Nach der Voraussetzung ist M der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks 
ACD, wobei M der Mittelpunkt von AC ist. Damit ist AC ein Durchmesser in 
diesem Kreis und folglich ist Winkel(ACD) =90° nach dem Thalessatz. Dies 
gilt analog für die anderen drei Innenwinkel des Vierecks ABCD. Also ist 
es ein  Rechteck.

Beweis 2 (ohne Thalessatz). Nach Voraussetzung sind die beiden Dreiecke 
AMD und CMD gleichschenklig. Ihre Basiswinkel seien x bzw y. Damit gilt 
nach Winkelsumme im Dreieck ACD
 	x + (x+y) + y = 180°
also	2(x+y) =180°
also 	  x+ y = 90°.
DAmit ist Winkel(ADC)= x+ y = 90°. Analog folgt dies für die drei anderen 
Innenwinkel.


In der aktuelle Aufgabe 3, Serie 6 soll gezeigt werden, dass das 
geometrische Mittel zweier Zahlen a und b stets größer oder gleich dem 
harmonischen Mittel ist (Wurzell(AB) > = 2/(1/a +1/b) Vor, a,b>0.
Hier auf dieser Webseite ist ein ähnliches Beispiel (arithmetisches Mittel 
ist stets größer gleich dem geometrischen Mittel):

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Beweis

Viele Grüße
Axel Schüler