Aufgabe des Monats - Schuljahr 1997/98

Aufgabe des Monats September

Klasse 6 - 7:: Jedes der 16 Klassenzimmer einer Schule hat gleichviele Stühle. Aus jedem Klassenzimmer trägt man 8 Stühle in die Aula. Nun sind in den 16 Klassenzimmern noch so viele Stühle, wie vorher in 12 Klassenzimmern waren. In den übrigen Räumen der Schule sind noch weitere 38 Stühle. Über wieviel Stühle verfügt diese Schule ?
Klasse 8 - 9:: Gesucht sind alle vierstelligen natürlichen Zahlen mit folgender Eigenschaft: Die Summe aus der betreffenden Zahl selbst, ihrer Quersumme und der ersten und letzten Ziffer beträgt 5900.
Klasse 10 - 12:: Einem Kreis k mit dem Radius r wurde ein Quadrat einbeschrieben, d.h. die Ecken des Quadrats liegen auf der Peripherie des Kreises. Wieviel Prozent vom Flächeninhalt des Kreises beträgt der Flächeninhalt dieses Quadrats ?

Aufgabe des Monats Oktober

Klasse 6 - 7:

In einer alten Aufgabensammlung wird das Urteil des Paris folgendermaßen beschrieben:

Die Göttinen Hera, Aphrodite und Athene fragen den klugen Paris, wer von ihnen die Schönste sei. Sie machen folgende drei Aussagen:
Aphrodite: "Ich bin die Schönste."
Athene: "Aphrodite ist nicht die Schönste."
Hera: "Ich bin die Schönste."
Aphrodite: "Hera ist nicht die Schönste."
Athene: "Ich bin die Schönste."
Paris, der am Wegesrand ausruht, hält es nicht der Mühe wert, das Tuch, das seine Augen vor den Sonnenstrahlen schützt, zu entfernen. Er soll aber genau eine der Göttinnen als Schönste feststellen. Dabei setzt er voraus, daß alle Aussagen dieser Schönsten wahr, alle Aussagen der beiden anderen Göttinnen aber falsch sind.
Kann Paris unter diesen Voraussetzungen die von ihm geforderte Feststellung erhalten ? Wenn ja, wie lautet diese ?

Klasse 8 - 9:

In einem Dreieck ABC seien W(BAC)=50° und W(ACB)=50°. Im Inneren des Dreiecks sei ein Punkt M so gegeben, daß W(MCA)=10° und W(MBA)=40° sind.

Berechne daraus W(BMA).
(Hierbei steht W(XYZ) für die Winkelgröße des Winkels XYZ)

Klasse 10 - 12:

Bestimmen Sie für jede ganze Zahl n den größten gemeinsamen Teiler gcd(17n+2,11n+7). Beweisen Sie Ihre Aussage.

Aufgabe des Monats November

Klasse 6 - 7:: Untersuche, für welche natürlichen Zahlen n es ein Polyeder, d.h. einen ebenflächig begrenzten Körper, mit genau n Kanten gibt und erkläre, wie man jeweils einen solchen Körper bauen kann.
Klasse 8 - 9:: Finde alle 12-stelligen natürlichen Zahlen 2525******89, die eine Quadratzahl sind.
Klasse 10 - 12:: P sei ein Polyeder, dessen Seitenflächen regelmäßige Fünf- und Sechsecke sind. Dabei ist jedes Fünfeck nur von Sechsecken umgeben, während an die Sechsecke abwechselnd Fünf- und Sechsecke angrenzen. Man beweise, daß es nur ein solches Polyeder gibt; dieses gleicht einem gewöhnlichen Fußball.

Aufgaben des Monats Dezember

Weihnachtsaufgaben für Klasse 5-10, erdacht und gesammelt von Dr. Horst Hunecke:

Der Weihnachtsmann hat in seinem Sack Äpfel. Er begegnet drei Kindern und gibt dem ersten Kind von den Äpfeln die Hälfte und noch zwei dazu. Von den restlichen Äpfeln gibt er dem zweiten Kind die Hälfte und noch zwei dazu. Von den nun noch verbliebenen Äpfeln gibt er schließlich dem dritten Kind auch die Hälfte und noch zwei dazu. Danach ist ihm genau ein Apfel verblieben.
Wieviele Äpfel hatte der Weihnachtsmann anfangs in seinem Sack ?
In einer Scheune des Weihnachtsmanns befinden sich Zwerge und Rentiere. Man zählt insgesamt 15 Köpfe und 42 Beine. Wieviele Zwerge und wieviele Rentiere sind in der Scheune ?
Anne hat eine Schale voller Haselnüsse. Teilt sie diese in Häufchen zu je 13 Nüssen, so bleiben 9 übrig. Teilt sie diese in Häufchen zu je 17 Nüssen, so bleiben 14 übrig. Wieviele Nüsse hat Anne ?

Und hier eine Neujahrsaufgabe für Klasse 11-12:

z(m) sei die Anzahl der Primfaktoren 2 in (m!). Zeige, daß es unendlich viele natürliche Zahlen m gibt, so daß m-z(m)=1998 gilt.

Aufgabe des Monats Januar

Klasse 5 - 7:: Mit zwei Baggern wird eine Arbeit in 12 Tagen ausgeführt. Mit dem ersten Bagger allein würde sie 20 Tage dauern. In wieviel Tagen könnte sie allein mit dem zweiten Bagger ausgeführt werden ? Begründe deine Antwort !
Klasse 8 - 9:: Kann man in ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 9:16 ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 4:7 so einbeschreiben, daß auf jeder Seite des ersten Rechtecks ein Punkt des einbeschriebenen liegt ?
Klasse 10 - 12:: 5 Kugeln mit gleichem Radius seien so auf einer Ebene zusammengelegt, daß sich benachbarte Kugeln berühren und ihre Mittelpunkte ein regelmäßiges Fünfeck bilden. Eine sechste gleichgroße Kugel liegt in der Mitte obenauf. Bestimmen Sie, ob der tiefstgelegene Punkt dieser sechsten Kugel oberhalb, in oder unterhalb der Ebene durch die Mittelpunkte der fünf unteren Kugeln liegt ?

Aufgabe des Monats Februar

Klasse 5 - 7:: Bei einem Einkauf wurde der Preis von 170 DM mit genau 12 Geldscheinen bezahlt, und zwar ausschließlich in 10- und 20-DM-Scheinen. Ermittle, wieviele Scheine jeder der beiden Sorten über den Kassentisch gingen !
Klasse 8 - 9:: Kann man in ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 9:16 ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 4:7 so einbeschreiben, daß auf jeder Seite des ersten Rechtecks ein Punkt des einbeschriebenen liegt ?
Klasse 10 - 12:: 5 Kugeln mit gleichem Radius seien so auf einer Ebene zusammengelegt, daß sich benachbarte Kugeln berühren und ihre Mittelpunkte ein regelmäßiges Fünfeck bilden. Eine sechste gleichgroße Kugel liegt in der Mitte obenauf. Bestimmen Sie, ob der tiefstgelegene Punkt dieser sechsten Kugel oberhalb, in oder unterhalb der Ebene durch die Mittelpunkte der fünf unteren Kugeln liegt ?

Aufgabe des Monats März

Klasse 5 - 7:

Michael behauptet, daß er eine vierstellige Zahl kennt, die bei Division durch 2 den Rest 1, durch 3 den Rest 2, durch 4 den Rest 3, durch 5 den Rest 4, durch 6 den Rest 5, durch 7 den Rest 6, durch 8 den Rest 7 und schließlich bei Division durch 9 den Rest 8 läßt.

a) Zeige, daß Michael recht hat, indem Du auch eine solche Zahl findest.
b) Wieviele solche vierstelligen Zahlen gibt es insgesamt ?

Klasse 8 - 9:

Zeige, daß ein Viereck mit einer Symmetrieachse stets einen Inkreis oder einen Umkreis hat.

Klasse 10 - 12:

Betimmen Sie zu drei gegebenen Punkten A, B, C der Ebene einen vierten Punkt D so, daß das Viereck ABCD sowohl einen In- als auch einen Umkreis besitzt. Beschreiben Sie dazu, wie man einen solchen Punkt D konstruieren kann und beweisen Sie, daß Ihr Verfahren genau alle Punkte D mit den geforderten Eigenschaften liefert.

Aufgabe des Monats April

Klasse 5 - 7:: 21.4.98: Leider hatte sich ein Druckfehler eingeschlichen, auf den mich Herr Berlich aufmerksam gemacht hat. Richtig muß die Aufgabe heißen:; Im Dreieck ABC seien W(BAC)=50° und W(ABC)=80°. Dabei steht W(BAC) für die Größe des Winkels BAC. Im Inneren des Dreiecks sei ein Punkt M so gelegen, daß W(MAB)=20° und W(MCA)=30° gilt. Berechne daraus W(BMA) !
Klasse 8 - 9:: Zeige, daß ein Viereck mit einer Symmetrieachse stets einen Inkreis oder einen Umkreis hat.
Klasse 10 - 12:: Betimmen Sie zu drei gegebenen Punkten A, B, C der Ebene einen vierten Punkt D so, daß das Viereck ABCD sowohl einen In- als auch einen Umkreis besitzt. Beschreiben Sie dazu, wie man einen solchen Punkt D konstruieren kann und beweisen Sie, daß Ihr Verfahren genau alle Punkte D mit den geforderten Eigenschaften liefert.

Aufgabe des Monats Mai

Klasse 5 - 7:

Leider hatte sich in die Aufgabe des Monats April ein Druckfehler eingeschlichen. Ich stelle die richtige Aufgabe deshalb in diesem Monat noch einmal.

Im Dreieck ABC seien W(BAC)=50° und W(ABC)=80°. Dabei steht W(BAC) für die Größe des Winkels BAC. Im Inneren des Dreiecks sei ein Punkt M so gelegen, daß W(MAB)=20° und W(MCA)=30° gilt. Berechne daraus W(BMA) !

Klasse 8 - 9:

Jeder von Euch weiß, wie man die Winkelhalbierende eines Winkels konstruiert, d.h. diesen mit Zirkel und Lineal in zwei gleiche Teile teilt.
Ein interessantes Ergebnis der Mathematik besagt, daß es kein Verfahren gibt, mit dem man einen Winkel unbekannter Größe mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile teilen kann.
Allerdings kann man spezielle Winkel in drei gleiche Teile teilen, z.B. einen Winkel von 90° (90°/3 = 30° = 90°-60° und ein Winkel von 60° kommt im gleichseitigen Dreieck vor, das man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, trage diesen Winkel nun an den von 90° nach innen an) oder einen von 72° (beachte, daß 72°-60° = 12° gilt).

Zeige, daß man auch einen Winkel von 54° mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile teilen kann.

Klasse 10 - 12:

In einem Rechteck mit den Seitenlängen 20 und 25 befinden sich 120 Quadrate mit der Seitenlänge 1. Zeigen Sie, daß es in diesem Rechteck einen Kreis mit dem Durchmesser 1 gibt, der keine Punkte der Quadrate enthält.

Aufgabe des Monats Juni

Klasse 5 - 7:

Untersuche, ob es ein Vielfaches der Zahl 1221 gibt, das nur aus Einsen besteht. Gibt es auch ein solches Vielfaches der Zahl 121 ?

Klasse 8 - 9:

Zeige, daß man auch einen Winkel von 54° mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile teilen kann.

Klasse 10 - 12:

Aufgabe des Monats Juli/August

Klasse 5 - 7:

Zwei Schüler haben inzwischen herausgefunden, daß 91*1221=111111 gilt. Daß es auch ein Vielfaches von 121 gibt, das nur aus Einsen besteht, hat noch keiner herausgefunden. Ich stelle diese Frage deshalb noch einmal:

Untersuche, ob es ein Vielfaches der Zahl 121 gibt, das nur aus Einsen besteht.

Und hier noch was Einfacheres:

Über eine Zahl n < 1000000 wurden folgende Aussagen gemacht:

Anna:: n ist höchstens zweistellig.; n hat nur zwei Teiler, die Primzahlen sind.
Bodo:: n ist nicht durch 9 teilbar.; n ist nicht durch 27 teilbar.
Christine:: n ist die Zahl 91809.; n ist durch 101 teilbar.

Bestimme die Zahl n, wenn bekannt ist, daß jedes der Kinder eine wahre und eine falsche Aussage über n gemacht hat. Begründe Dein Ergebnis.

Klasse 8 - 9:

Auf den Seiten AB und BC eines Dreiecks ABC werden nach außen Parallelogramme ABDE und BCFG angetragen. Die Geraden ED und FG schneiden sich im Punkt M. Schließlich ist über der Seite AC ein Parallelogramm ACKL angetragen, dessen Seiten AL und CK so lang wie BM und zu BM parallel sind.

Zeige, daß die Summe der Flächeninhalte der Parallelogramme ABDE und BCFG mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms ACKL übereinstimmt.

Klasse 10 - 12:

Untersuchen Sie, ob es zu jeder Zahl n > 0 eine Zahl aus n Ziffern 3 und je einer Ziffer 4, 6 und 7 gibt, die durch 7 teilbar ist.