Lösungen der Aufgaben des Monats - Schuljahr 2002/03

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22


Aufgabe 1

Aufgabenstellung:
Ein Quadrat hat 2 Diagonalen, ein Fünfeck hat 5 Diagonalen. Wieviele Diagonalen hat ein 10-Eck? Und wieviele Diagonalen hat ein 27-Eck?

Finde eine allgemeine Formel für die Anzahl der Diagonalen in einem konvexen n-Eck.

Lösung (angelehnt an Oleksandr Medvedyev):

Ein 10-Eck hat 35 Diagonalen und ein 27-Eck hat 324 Diagonalen.

Das kann man durch eine Formel ermitteln. Und zwar:
n ist die Anzahl der Ecken des n-Ecks; Z ist die Anzahl der Diagonalen. Als erstes ist festzustellen, dass von einer Ecke in die benachbarten keine Diagonale geführt werden kann und dass von der Ecke in sich selbst keine Diagonale geführt werden kann, also: n-3. Dann ist noch Folgendes festzustellen: Wenn aus einer Ecke eine Z-Anzahl der Diagonalen führt, dann führt auch aus einer zu ihr benachbarten Ecke die gleiche Anzahl von Diagonalen, weil diese Ecken durch eine Diagonale nicht verbunden sind. Aus der 3. Ecke führt dann eine Diagonale weniger, weil diese schon mit einer der beiden ersten Ecken verbunden ist. Aus der 4. Ecke führt in die anderen noch eine Diagonale weniger usw., dabei, um die oben genannten Bedinungen zu erfüllen müssen die Ecken benachbart sein, also die 1. Ecke mit der 2., die 2. mit der 3. usw. Von der letzten Ecke fuhrt dann gar keine Diagonale in die anderen Ecken, weil aus jeder Ecke in diese schon eine Diagonale führt. Also: Z= (n-3)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+... Und hier die Anzahl der Diagonalen des 10-Ecks: Z= 2*(n-3)+(n-4)+(n-5)+(n-6)+(n-7)+(n8)+(n-9).
(n-10) gibt es nicht, weil aus der letzten Ecke keine Diagonale in die anderen führt, das ist bei jedem n-Eck so, also beim 27-Eck geht es auch bis (n-26).

Die Anzahl der Diagonalen kann man auch anders aufschreiben: z.B.: 10-Eck: 2*(n-3)+1+2+3+4+5+6. Und jetzt 27-Eck: 2*(n-3)+1+2+3+...+23= 324 Diagonalen. Die allgemeine Formel ist also 2*(n-3)+1+2+3+... bis eine Zahl kommt, die um 4 kleiner ist als die Eckenanzahl. Diese Formel kann man noch vereinfachen. Und zwar: da die Zahlen hintereinander stehen, also: 1,2,3 usw., kann man Paare bilden, indem man die erste und die letzte Zahlen addiert, die 2. und die vorletzte usw., dabei sind alle Paaren gleich. Die Anzahl der Paare ist (n-4). Da jedes Paar zweimal vorkommt muss also noch durch 2 geteilt werden. Die Formel lautet dann: 2*(n-3)+(n-4)*(n-3)/2 = (4 + n-4)*(n-3)/2 = n*(n-3)/2.

Überpfrüfung: 10-Eck: 10*(10-3):2= 35 Diagonalen 27-Eck: 27*(27*3):2= 324 Diagonalen


Aufgabe 2

Aufgabenstellung:
Kann die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen eine Primzahl sein? Begründe deine Antwort.

Lösung (von Paul Sprenger):

Für die Summe der vier Zahlen schreibe ich allgemein
n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4*n+6 = 2* (2*n+3).
Das Ergebnis ist also eine durch zwei teilbare Zahl und daher keine Primzahl. Die kleinste Summe ist 0+1+2+3 = 6 , also ist auch nicht die Primzahl 2 Lösung.


Aufgabe 3

Aufgabenstellung:
Der folgende Satz ist zu beweisen:
Wenn der Bruch (a-b)/(a+b) unkürzbar ist, so ist auch der Bruch a/b unkürzbar.

Lösung:

Der Bruch (a-b)/(a+b) ist unkürzbar. Die Aussage wird dann mit einem indirekten Beweis gezeigt. Es wird angenommen, dass a/b kürzbar wäre. Dann würde eine ganze Zahl m ungleich Eins existieren, so dass gälte:
a/b=m*c/m*d
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass c/d unkürzbar ist. So gilt dann:
a=m*c und b=m*d.
Diese Gleichungen setzt man in den Bruch (a-b)/(a+b) ein:
(a-b)/(a+b)=(m*c-m*d)/(m*c+m*d)=m*(c-d)/m*(c+d)
Das wiederum hieße, dass (a-b)/(a+b) doch kürzbar wären. Widerspruch. Also muss a/b ebenfalls unkürzbar sein.

Aufgabe 4

Aufgabenstellung:
Eine Rennstrecke ist 40 km lang. Ein Auto fährt eine Runde mit 10 km/h. Wie schnell müsste das Auto in der zweiten Runde fahren, um auf eine doppelt so große Durchschnittsgeschwindigkeit (also 20 km/h) zu kommen? Begründe Deine Antwort ausführlich.

Lösung: (von Paul Sprenger)

Für die 1. Runde braucht das Auto 4h bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 10 km/h. Für die 2 Runden, also 80 km, braucht das Auto bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 20 km/h ebenfalls 4h. Also steht für die 2. Runde eine Zeit von 0h zur Verfügung. Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit:
v=Weg/Zeit
v=40km/0h
Die Division durch Null ist nicht definiert, dass heißt die Geschwindigkeit müsste unendlich sein.

Aufgabe 5

Aufgabenstellung:
a) Ein Stück Land habe die Form eines Rechtecks, dessen eine Seitenlänge die andere um 75m überterifft und dessen Umfang insgesamt 650m beträgt. Ermittle die Seitenlängen und den Flächeninhalt (in Hektar) dieses Landstücks!
b) Auf der ganzen Fläche des genannten Landstücks sollen Obstbäume derart gepflanzt werden, dass die Bäume in jeweils zu den Rechteckseiten parallelen Reihen stehen und der Abstand von Baum zu nächststehendem Baum und der von einer Randseite zum nächstehenen Baum jeweils 5m beträgt. Ermittle die genaue Anzahl von Bäumen, die unter den angegebenen Bedingungen gepflanzt werden können.

Lösung: (von Paul Sprenger)

a) Bekannt: Ein Rechteck mit Seiten a und b: b = a + 75m und 2a + 2b = 650m (Umfang)
2a + 2x(a + 75m) = 650m
4a + 150m = 650m
4a = 500m
=> a = 125m, b = 200m
Berechnung des Flächeninhaltes A:
A = a x b = 125m x 200m = 25000 m2
1 ha = 10000 m2
A = 2,5 ha

b) Das Bild zeigt, dass man auf einer Strecke von 20m , 4 Abstände von 5m hat, also 3 Bäume pflanzen kann:
|-----|-----|-----|-----|

125m : 5m = 25 ----> 24 Bäume
200m : 5m = 40 ----> 39 Bäume
24 x 39 = 936 , Es können 936 Bäume gepflanzt werden.

Aufgabe 6

Aufgabenstellung:
Wähle Dir eine beliebige dreistellige positive Zahl aus, deren Anfangsziffer sich von der letzten Ziffer unterscheidet (z. B. 113). Nun spiegele die Zahl an ihrer mittleren Ziffer (hier: 311) und ziehe die kleinere der beiden Zahlen von der größeren ab. z. B.
 311
-113
 ---
 198
 ===
Spiegele das Ergebnis wieder an ihrer mittleren Ziffer und addiere die gespiegelte Zahl zum letzten Ergebnis: z. B.
 198
+891
 ----
 1089
 ====
Egal welche Zahl Du gewählt hast, als Endergebnis wird 1089 herauskommen. Versuche das Phänomenen zu erklären.

Lösung:

Sei abc die gewählte dreistellige Zahl. Dabei gelte a>c. Die in der Aufgabenstellung beschriebenen Rechnungen werden in der folgenden Tabelle geführt:
Subtraktion
abc
-   cba
11   (Merke)
------------------------------------------------------
a-(c+1)10+b-(b+1)10+c-a
=   a-(c+1)910+c-a
Addition
a-(c+1)910+c-a
+   10+c-a9a-(c+1)
------------------------------------------------------
1   (Merke)
=   1089
======================================================
=> Egal bei welcher dreistelligen Zahl abc (mit a<>c) man startet, das Ergebnis nach dem Durchführen der beschriebenen Rechnungen ist immer 1089.

Aufgabe 7

Aufgabenstellung:
Man zeige: Für drei gleich große Kreise, die sich in genau einem Punkt schneiden, gilt: Der Kreis durch die Schnittpunkte von je zwei Kreisen hat denselben Radius wie die drei Kreise.

Lösung:

Die Mittelpunkte der drei Kreise mit Radius r werden mit P, Q und R benannt, die Schnittpunkte von je zwei Kreisen mit A, B und C und der Schnittpunkt von genau drei Kreisen mit M. Es ist zu beachten, dass es insgesamt drei Schnittpunkte von je zwei Kreisen gibt. Dabei gibt es den Sonderfall, in dem der Schnittpunkt, in dem sich zwei Kreise schneiden, mit dem Schnittpunkt aller drei Kreise zusammenfällt.
Das untenstehende Bild illustriert drei Schritte des Beweisvorganges. Dabei zeigt die obere Reihe den Beweis bewusst anhand einer Konstellation, die nicht symmetrisch gewählt ist. Der besseren Illustration dient die untere Reihe. Der rote Kreis ist derjenige, der durch die Schnittpunkte von je zwei Kreisen konstruiert wurde.
Schritt 1: Es werden folgende Vierecke betrachtet: APMR, BPMQ und RMQC. Sie haben alle dieselbe Seitenlänge r. Es handelt sich also um Parallelogramme. Da sie jeweils eine Seite mit jedem anderem Parallelogramm gemeinsam haben gilt AP||QC, AR||BQ und PB||RC.
Schritt 2: Weil AP=QC=AR=BQ=PB=RC=r folgt, dass auch APQC, ARBQ und PBCR Parallelogramme sind. Insbesondere gilt also auch, dass PQ||AC, RQ||AB und PR||BC.
Schritt 3: Damit folgt: die Dreiecke PQR und ACB sind kongruent zueinander und haben somit denselben Umkreisradius. Der Umkreis um PQR hat den Mittelpunkt M und Radius r, da nur M zu P, Q und R denselben Abstand hat. Damit hat dann auch der Umkreis um ACB den Radius r.

Aufgabe 8

Aufgabenstellung:
Diese Aufgabe ist mit einer externen Internetseite verbunden. Schaut Euch diese unter

http://www.egm.at/weblog/archives/MindReader.htm

an und versucht das Phänomen zu erklären. Die Seite kann nicht mit Netscape 4.xx gelesen werden, versucht es am Besten mit dem Internet-Explorer.

Lösung:

Eine beliebige zweistellige Zahl lässt sich folgendermaßen mit den Ziffern a und b darstellen:
ab mit 1<=a<=9 und 0<=b<=9.
Der Zahlenwert von ab ist: 10*a+b.
Zieht man dann die einzelnen Ziffern von der Zahl ab, erhält man:
10*a+b-a-b=9*a.
In jedem Fall kommt also eine durch neun teilbare Zahl heraus. Alle neun möglichen Zahlen (9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81) werden dann mit demselben Symbol belegt, welches dann als "aus den Gedanken gelesen" erscheint.

Aufgabe 9

Aufgabenstellung:
100 Kinder wollen von dem Weihnachtsmann Geschenke bekommen. Sie waren allerdings das Jahr über nicht sehr artig, weshalb der Weihnachstmann ihnen diesmal als Bedingung für ein Geschenk eine Knobelaufgabe stellt:
Alle 100 Kinder sollen sich in einer Reihe aufstellen, so dass jeder alle seine Vordermänner sehen kann (der Erste sieht also niemanden, der Zweite den Ersten, der Dritte den Zweiten und den Ersten usw., der 100. in der Reihe kann allso alle 99 anderen Kinder sehen). Dann verteilt der Weihnachstmann weiße und schwarze Hüte, die sich die Kinder aufsetzen. Dabei kann keiner seine eigene Hutfarbe sehen. Jedes Kind, welches seine Hutfarbe nennen kann, wird dann ein Geschenk bekommen.
Mit welcher Strategie bekommen die meisten Kinder ein Geschenk?

Hinweise:

Lösung:

Die Reihenfolge, auf die sich die Kinder einigen sollten ist, dass der Letzte beginnt, eine Farbe zu nennen, dann der 99., dann der 98. usw. Dies ist auch damit begründet, dass in dieser Reihenfolge, die Information der einzelnen Kinder abnimmt. Der Letzte besitzt die meisten Informationen, da er alle anderen sehen kann, der 99. besitzt die zweitmeisten Informationen usw. Dann einigen sie sich darauf, dass der 100. der Reihe z. B. "Schwarz" sagt, wenn die Anzahl der schwarzen Hüte, die er sieht, gerade ist, ansonsten sagt er "Weiß". Die 99 anderen Kinder können aus dieser Information schließen, ob die Anzahl der weißen Hüte gerade oder ungerade ist. Da der Letzte 99 Hüte sehen kann, gibt es dafür nur eine Möglichkeit (sagt er "Schwarz" ist die Anzahl der weißen Hüte ungerade, ansonsten umgekehrt). Diese Information "Anzahl der schwarzen Hüte ist gerade/ungerade, Anzahl der weißen Hüte ist gerade/ungerade" muss sich jedes Kind merken. Nun braucht der 99. nur die weißen und schwarzen Hüte, die er sehen kann, durchzuzählen und er erkennt, welche Farbe er tragen muss, damit Anzahl von schwarzen bzw. weißen Hüten von 99 gerade/ungerade wird, abhängig davon, was er sich gemerkt hat. Der 99. sagt also seine Hutfarbe (z. B. Schwarz) und alle anderen Kinder vor ihm müssen sich merken, dass die Anzahl der schwarzen Hüte von 98 nun gerade ist, wenn sie vorher ungerade war und umgedreht und die Anzahl der weißen Hüte immer noch gerade/ungerade ist. Auf diese Weise nennt nun der 98. seine Farbe, dann der 97. usw. bis hin zum Ersten. Mit dieser Strategie konnte für 99 Kinder mit Sicherheit eine Bescherung stattfinden, für den 100. der Reihe nur zu 50 Prozent.

Aufgabe 10

Aufgabenstellung:
Die Ziffern 5, 5, 5, 5 sind mathematisch so zu verbinden, dass eine 9 rauskommt. Erlaubt sind: Die einfachen Operationen +, -, *, :, sowie beliebig viele Klammern. Die Fünfen dürfen auch nebeneinander stehen, also z. B. 55*(5+5).

Lösung:

Eine Lösung ist z. B.:
5+5-5/5

Aufgabe 11

Aufgabenstellung:
Zwanzig Strümpfe liegen einzeln in einer Schublade. Dabei hat jeder Strumpf genau einen Partner. Wie oft müsste man blindlings in die Schublade greifen und jeweils einen Strumpf herausholen, damit man sicher sein kann, dass wenigstens ein gleichartiges Paar von Strümpfen dabei ist?

Lösung:

Es gibt zehn Paar Strümpfe. Nach 11-maligen Ziehen kann man also sicher sein, dass sich mindestens ein Paar Strümpfe unter den herausgezogenen befindet.

Dieses Prinzip nennt man auch das Dirichletsche Schubladenprinzip oder auch das Taubenschlagprinzip:
Befinden sich (n+1) Tauben in n Taubenschlägen, so sitzen in mindestens einem Schlag mindestens zwei Tauben.


Aufgabe 12

Aufgabenstellung:
Eine Aufgabe aus der Matheolympiade(7. Klasse):
Vater und Sohn gehen nebeneinander. In der gleichen Zeit, in der der Vater 4 Schritte macht, macht der Sohn jedesmal 5 Schritte, und in dieser Zeit legen beide jedesmal genau den gleichen Weg zurück. Die durchschnittliche Schrittlänge des Vaters beträgt 80cm.
a) Wie groß ist die durchschnittliche Schrittlänge des Sohnes?
b) Wir nehmen an, dass beide gleichzeitig mit dem rechten Fuß beginnen (d. h. der rechte Fuß wird zuerst zum Laufen angehoben). Nach dem wievielten Schritt des Vaters treten beide erstmalig gleichzeitig mit dem linken Fuß auf?

Lösung:

a) Der Vater legt 4 * 80 cm = 320 cm in 4 Schritten zurück. Der Sohn benötigt für denselben Weg 5 Schritte. Seine durchschnittliche Schrittlänge beträt somit 320 / 5 cm=64 cm.
b) Nach vier Schritten des Vaters treten beide wieder gleichzeitig mit ihren Füßen wieder auf, da aber der Vater für denselben Weg nur vier Schritte, der Sohn aber fünf (eine ungerade Anzahl) benötigt, treten Vater und Sohn erst nach dem achten Schritt des Vaters gleichzeitig mit dem linken Fuß auf.

Aufgabe 13

Aufgabenstellung:
In der ersten Aufgabe dieses Schuljahres habt ihr eine Formel gefunden, mit der man die Anzahl der Diagonalen eines konvexen n-Ecks berechnen kann:
n*(n-3)/2.
Für welche n ist die Anzahl der Diagonalen gerade?

Lösung:

Für ein konvexes n-Eck mit einer geraden Anzahl von Diagonalen (also 2k, k ist eine natürliche Zahl) muss also gelten:
n*(n-3)/2=2k
also:
n*(n-3)=4k
Daraus kann man erkennen, dass entweder n oder n-3 durch vier teilbar sein muss.

Zusatzaufgabe

Betrachtet man die Anzahl der Diagonalen eines n-Ecks für n=3,...,30, bemerkt man, dass auf jeweils zwei ungerade Anzahlen, zwei gerade Anzahlen folgen. Versuche dieses Muster, möglichst unter Verwendung von Aufgabe 13, zu erklären.
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n*(n-3)/2 0 2 5 9 14 20 27 35 44 54 65 77 90 104 119 135 152 170 189 209 230 252 275 299 324 350 377 405
Lösung:
Man kann erkennen, dass ein n-Eck eine gerade Anzahl an Diagonalen besitzt, wenn n
(1) durch vier teilbar ist oder
(2) ein Vorgänger einer durch vier teilbaren Zahl ist. Aus Aufgabe 13 ist bekannt, dass für eine gerade Diagonalenanzahl entweder n oder n-3 durch vier teilbar sein muss. Damit ist (1) keine Überraschung mehr. Zu Untersuchen bleibt (2):
n sei also Vorgänger einer durch vier teilbaren Zahl. Also n+1 ist durch vier teilbar. Man betrachte die vorhergehende Zahl von n+1, die durch vier teilbar ist, das ist: n+1-4=n-3. Damit erfüllt n also die Bedingung, dass n-3 durch vier teilbar ist.

Aufgabe 14

Aufgabenstellung:
Wie viele vierstellige ungerade natürliche Zahlen gibt es?

Lösung:

Es gibt 9999-999=9000 vierstellige natürliche Zahlen. Die Hälfte davon ist ungerade. Also gibt es 4500 ungerade natürliche Zahlen.

Aufgabe 15

Aufgabenstellung:
Eine Aufgabe aus der Matheolympiade(7. Klasse):
Ein Reisender fährt mit dem Zug, der mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h fährt. Er sieht, dass am Fenster ein entgegenkommender Zug innerhalb von 4 s vorbeifährt. Welche Geschwindigkeit hat der Gegenzug, wenn seine Länge 120 m beträgt?

Lösung:

Es ist die Geschwindigkeit x des entgegenkommenden Zuges gesucht. Es gilt
60 + x [km/h] = 120/4 [m/s] = 30 [m/s] = 30*3,6 [km/h] = 108 [km/h]
Also: x = 108 - 60 [km/h] = 48 [km/h]
Die Geschwindigkeit des entgegenkommenden Zuges beträgt also 48 km/h.

Aufgabe 16

Aufgabenstellung:
Ein Autofahrer sieht auf den Kilometerzähler und stellt fest, dass sein Fahrzeug 15951km zurückgelegt hat. Er erkennt, dass 15951 ein symmetrische Zahl ist (die erste ist gleich der letzten, die zweite gleich der vorletzten) und glaubt, dass ein weitere symmetrische Zahl nicht so bald wiederkommt. Doch genau nach zwei Stunden Fahrt sieht er auf dem Kilometerzähler wieder ein symmetrische Zahl.
a) Wie lautet die zweite symmetrische Zahl?
b) Wieviel Kilometer fährt er in den letzten zwei Stunden?
Lösung:
a) 16061
b) 110 km

Aufgabe 17

Aufgabenstellung:
Jeder von Euch kennt sicher die Methode, um nachzuprüfen, ob eine Zahl (z. B. 731) durch drei teilbar ist. Man errechnet die Quersumme (Summe der einzelnen Ziffern, hier: 7+3+1=11) und ist diese durch drei teilbar, so auch die Zahl selbst (hier: 11 ist nicht durch 3 teilbar also auch 731 nicht). Eure Aufgabe ist es, dies zu beweisen:
Zeige: Eine Zahl ist genau dann durch drei teilbar, wenn ihre Quersumme durch drei teilbar ist.

Beachtet: Es sind zwei Richtungen zu zeigen:
(1) Ist eine Zahl durch drei teilbar, so auch ihre Quersumme.
(2) Ist die Quersumme einer Zahl durch drei teilbar, so ist auch die Zahl selber durch drei teilbar.

Lösung (von Oleksandr Medevyev):
1) Wir schreiben fuer eine beliebige Zahl (z.B. <1000):
a+b+c sei die Quersumme, 3k sei eine beliebige durch 3 teilbare Zahl.
a*100+b*10+c=3k
(99a+a)+(9b+b)+c=99a+9b+a+b+c. Daraus folgt: wenn 99a durch 3 teilbar ist und 9b durch 3 teilbar ist, dann folgt: a+b+c ist durch 3 teilbar.

2) a+b+c=3k, d.h. ist durch 3 teilbar, dann gilt:
c=3k-(a+b)
c=3k-a-b
Wir setzen fuer c ein: a*100+b*10+3k-a-b=99a-9b+3k, daraus folgt: jede Zahl ist durch 3 teilbar.
w.z.b.w.


Aufgabe 18

Aufgabenstellung:
In der Wüste gibt es 10 Gefangene in einem in den Sand gezogenen Kreis, die von einem Wächter mit einer Pistole, in der genau eine Kugel ist, bewacht werden. Von diesem wissen die Gefangenen, dass er immer die Wahrheit sagt und zielsicher schießen kann. Der Wächter weiß, dass die Gefangenen jeden Fluchtversuch wagen würden, wenn sie eine Chance hätten zu überleben. Was muss der Wächter sagen, damit alle Gefangenen im Kreis bleiben?

Hinweise:

Lösung:
1. Möglichkeit:
Der Wächter nummeriert die Gefangenen durch und zwar so, dass jeder Gefangene auch seine Nummer und die aller anderen kennt. Dann braucht der Wächter nur noch zu sagen, dass er denjenigen erschiessen wird, der von den flüchtenden Gefangenen die kleinste Nummer hat.

Zum Beispiel: Versucht ein Einzelner zu flüchten, dann hat er von allen Flüchtigen automatisch die kleinste Nummer und würde definitiv erschossen werden. Da er weiss, dass er somit keine Chance hat, bleibt er gleich in dem Kreis.

Ein weiteres Beispiel: Versucht eine Gruppe zu flüchten, so müssen alle Flüchtigen gleichzeitig heraustreten, ansonsten würde der Erste erschossen werden (siehe obiges Beispiel) und es würde sich kein Erster finden. Da es nur endlich viele Flüchtige gibt, ist unter ihnen einer, der die kleinste Nummer hat. Dieser weiss dann, dass er erschossen werden würde und bleibt im Kreis. Dann bleibt auch derjenige mit der zweitkleinsten Nummer im Kreis, da er sonst getötet werden wuerde. Dann bleibt auch derjenige mit der drittkleinsten Nummer usw...

2. Möglichkeit:

Der Wächter legt den Kreis in ein Koordinatensystem und stellt sich auf die x-Achse. Dann könnte er sagen, dass er denjenigen von den Flüchtigen erschiessen wird, der von seiner Austrittstelle den kleinsten Winkel zwischen sich und der x-Achse hat. Auch hier ist es wieder das gleiche Prinzip, wie bei er ersten Möglichkeit: die Gefangen bleiben alle im Kreis, weil sich keiner findet der sich freiwillig erschiessen lässt, d.h. den kleinsten Austrittswinkel wählt.

Aufgabe 19

Aufgabenstellung:
Versucht einmal, das Phänomenen auf dem folgenden Bild zu erklären.
Lösung (von Christian Alvermann):
Wenn man die beiden Zeichnungen gedanklich übereinanderlegt, bemerkt man, dass die Zeichnung mit Lücke nach außen gedellt ist und die andere nach innen gedellt ist, obwohl alle enthaltenen Körper gleich sind. Wenn man das dadurch entstandene Viereck ausrechnet, dann kommt man auf einen Flächeninhalt von einem Kästchen. Dieses Kästchen das Kästchen, das im zweiten Bild fehlt.

Aufgabe 20

Aufgabenstellung:
Aus zwei Neubausiedlungen, die 36km voneinander entfernt sind, gehen sich zwei Freunde entgegen. Der erste geht mit einer Geschwindigkeit von 5km/h, der zweite mit 4km/h. Gleichzeitig mit dem ersten fährt ein Junge mit einem Fahrrad aus dessen Stadt dem zweiten entgegen. Er fährt mit einer Geschwindigkeit, die gleich der Summe der Geschwindigkeiten der Freunde ist. Wenn er den zweiten Freund trifft, wendet er und fährt zum ersten zurück. Trifft er den ersten, dann wendet er und fährt zum zweiten zurück usw. Auf diese Weise fährt der Radfahrer zwischen dem ersten und dem zweiten Freund hin und her, bis sie sich treffen. Wieviel Kilometer fuhr der Radfahrer in dieser Zeit?
Lösung (von Christian Alvermann):
Wir bezeichnen die Geschwindigkeit mit v, Zeit mit t und Weg mit s. Da sich die Freunde aufeinander zu bewegen, ist v, mit der sie sich nähern, die Summe der Teilgeschwindigkeiten, also 5km/h + 4km/h = 9km/h. Daraus folgt, dass sie sich nach 4h treffen, weil t=s/v, also t=36km / 9km/h = 4h. D.h. der Radfahrer fährt 4h zwischen den Freunden hin und her. Seine v ist folgendermaßen 4km/h + 5km/h = 9km/h. Da v und t bekannt sind, können wir jetzt s ausrechnen, s=v*t, nun mit Einsetzen: s = 9km/h*4h = 36km. Er fährt in dieser Zeit 36km.

Aufgabe 21

Aufgabenstellung:
Man hat unendlich viele Dochte zur Verfügung. Wenn man einen anzündet, brennt er genau eine Stunde lang. Die Dochte sind allerdings nicht gleichermaßen dick, sondern brennen unterschiedlich schnell ab, d.h. wenn die Flamme in der Mitte ist, kann man nicht daraus schließen, dass der Docht eine halbe Stunde lang gebrannt hat. Wie und mit wieviel Dochten kann man eine dreiviertel Stunde abmessen?
Lösung:
Zündet man einen Docht an beiden Enden gleichzeitig an, treffen sich die Flammen notgedrungenermaßen nach einer halben Stunde (sie müssen sich nicht unbedingt in der Mitte des Dochtes treffen. Der Treffpunkt hängt von der Beschaffentheit des Dochtes ab, an welchen Stellen er dicker oder dünner ist). Um eine 3/4 Stunde abzumessen, braucht man also nur einen Docht an beiden Enden anzuzünden und einen weiteren Docht an einem Ende. Treffen sich die beiden Flammen des ersten Dochtes, ist eine halbe Stunde vergangen (der zweite Docht hat demnach auch nur noch eine halbe Stunde zum Brennen Zeit) und man muss das andere Ende des zweiten Dochtes entzünden. Treffen sich dann die beiden Flammen des zweiten Dochtes ist eine weitere viertel Stunde vergangen: Insgesamt also eine 3/4 Stunde.

Aufgabe 22

Aufgabenstellung:
Versucht den folgenden "Satz vom Fußball" rechtzufertigen:
Wenn innerhalb eines Fußballspiels ein und derselbe Ball benutzt wird, dann befinden sich zwei Punkte auf der Oberfläche des Balls beim Anpfiff der ersten und zweiten Halbzeit (also zu zwei Zeitpunkten) auf derselben Position im Stadion, wenn der Anstoß von ein und derselben Stelle ausgeführt wird.
Lösung:
Beim ersten Anpfiff befindet sich der Ball in der Mitte des Spielfeldes. Man merke sich die Ausgangslage des Balles, d. h. auf welchen Punkt er aufliegt und die Positionen der anderen Punkte auf seiner Oberfläche bzgl. des umgebenen Raumes (Stadion). Zu Beginn der zweiten Halbzeit wird der Ball zum Anpfiff wieder auf dieselbe Stelle des Spielfeldes gelegt, allerdings nicht notwendigerweise auf denselben Punkt, auf dem er beim ersten Anpfiff auflag. Der Ball ist eine Kugel, kann also mit einer einzigen Drehung um eine Drehachse in dieselbe Ausgangsposition wie zu Beginn der ersten Halbzeit zurückgedreht werden. Die Punkte auf der Oberfläche des Balles, durch die die Drehachse geht, befinden sich vor und nach der Drehung auf derselben Position im Raum (Stadion). Also hatten diese beiden Punkte beim Anpfiff der ersten Halbzeit und beim Anpfiff der zweiten Halbzeit dieselbe Position im Stadion.