Lösungen der Aufgaben des Monats - Schuljahr 2001/02

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


Aufgabe 1

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die folgende Multiplikationsaufgabe:

 *8* · 4*2
7**
3**
****
*****0

  1. Bestimme die fehlenden Ziffern, so dass sich ein korrektes Multiplikationsschema ergibt. (4 Punkte)

  2. Begründe Dein Vorgehen und überlege, wieviele Lösungen die Aufgabe insgesamt hat. (weitere 3 Punkte)

Lösung (nach Christian Alvermann, Leipzig):

Die Aufgabe hat insgesamt zwei Lösungen:

1.  380 x 412 
    ---------   
          760
         380
       1520
    ---------   
       156560
    =========


    385 x 412
    ---------   
          770
         385
       1540
    ---------   
       158620 
    =========
Erläuterungen:

Da das Endergebnis mit einer 0 endet, kann man davon ausgehen, dass die letzte Zahl des ersten Faktors eine 5 oder 0 sein muss. Die erste Zeile ist als 2·*80=7*0 oder 2·*85=7*0. Jeweils einzige Lösung ist 2·380=760 oder 2·385=770. Die letzte noch offene Ziffer des zweiten Faktors ist wegen des zweiten Zwischenprodukts gleich 1.


Aufgabe 2

Aufgabenstellung:
Marie-Luise möchte eine zweistellige natürliche Zahl angeben, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
(1)
z ist nicht durch 10 teilbar.
(2)
Vergrößert man die Einerziffer der Zahl z um4, so erhält man die Zehnerziffer von z.
(3)
Vertauscht man die Ziffern von z miteinander, dann erhält man eine Zahl, deren Dreifaches kleiner als 100 ist.
Ermittle alle Zahlen z, die die genannten Bedingungen erfüllen!

Lösung (Paul Sprenger, Brandis):

Die Zahl nenne ich : ab ( a - Zehnerziffer, b - Einerziffer )

Aus (1) folgt b ungleich 0.

Aus (2) folgt b+4=a, also b aus {0,1,2,3,4}.

Aus (3) folgt 3·ba < 100, also b aus {1,2,3}.

Es kommen folgende Zahlen in die Auswahl:

b=1 a=5 ab=51 3·15=45 < 100
b=2 a=6 ab=62 3·26=78 < 100
b=3 a=7 ab=73 3·37=111 > 100 !

Einzige Lösungen sind also 51 und 62.


Aufgabe 3

Aufgabenstellung:
Eine Wiese ist 10800 m2 groß. Drei Bauern überlegen sich, wie sie die Wiese mähen wollen. Bauer A würde sie in 3 Stunden mähen, wenn er es allein tun müsste, Bauer B in 4 Stunden, Bauer C in 6 Stunden.
Lösung (Michaela Marx, Erfurt):
a) Sie brauchen zu dritt 1h 20min

Begründung: In einer Stunde mäht Bauer A 1/3, Bauer B 1/4, und Bauer C 1/6 der Wiese. Zusammen mähen sie 3/4 der Wiese in einer Stunde. (1/3+ 1/4+ 1+6 =3/4) Also mähen sie 1/4 der Wiese in 20min (60 durch 3 = 20) Deshalb mähen sie die Wiese in 1h 20min.

b) Sie brauchen noch 1h

Begründung: Nach der Hälfte der Zeit haben die 3 Bauern die Hälfte der Wiese gemäht. Bauer A und Bauer C schaffen zusammen in einer Stunde 1/2 Feld (1/3 + 1/6 = 1/2) Da die Hälfte des Feldes schon gemäht war brauchen sie nur noch eine Stunde.


Aufgabe 4

Aufgabenstellung:

Wir bilden eine Ziffernfolge nach diesem Schema: Die ersten beiden Ziffern sind 2 und 3. Die dritte Ziffer ist deren Produkt 2·3=6. Dann berechnen wir das nächste Produkt benachbarter Ziffern aus der Folge, also 3·6=18, und fügen die beiden Ziffern 1 und 8 an. Dann rechnen wir 6·1=6 sowie 1·8=8 und fügen diese Ziffern ebenfalls an. Und so weiter. Da die Produktbildung immer eine Stelle weiterrückt, als Ergebnis aber jeweils mindestens eine Stelle, oft sogar zwei, an die Folge angefügt werden, sind immer genügend Ziffernpaare vorhanden, die noch zu verarbeiten sind.

Die Folge beginnt mit diesen Ziffern:

236186848483232323224...

a) Können in der Ziffernfolge zwei ungerade Ziffern nebeneinander stehen?

b) Können in der Folge die Ziffern 5, 7 oder 9 vorkommen? Begründe Deine Meinung.

c) Zeige, dass jede der geraden Ziffern 2, 4, 6, 8 beliebig oft vorkommt.

Lösung:

a) (Detlev Mielczarek) Nein. Wir fangen mit den Ziffern 2 und 3 und ihr Produkt ist eine gerade Zahl. Jetzt werden Produkte gebildet und hinzugefügt. Zunächst 6, dann 3*6 = 18, dann 6*1 = 6 und 1*8 = 8 usw. Weil diese Produkte immer gerade Zahlen sind, können zwei ungerade Ziffern nebeneinander nicht auftreten.

b) (nach Oleksandr Medvedyev) Da alle Produkte gerade sind, können die Ziffern 5, 7 und 9 nur als Zehnerziffern in solchen Produkten entstehen. 7 und 9 kommen auch dafür nicht in Frage, denn bis zum ersten Auftreten sind nur Produkte bis maximal 8*8=64 möglich. Die 5 als Zehnerziffer könnte nur aus 7 * 8 = 56 oder 6 * 9 = 54 entstehen, aber die Ziffern 7 und 9 kommen ja nicht vor. Also kann in der Folge auch keine 5 vorkommen.

c) Nach einer Weile (rechne es aus!) erscheint in der Folge 888. Aus diesen Ziffern entstehen später die Ziffern 6464, aus diesen wieder später 242424 und daraus wieder 888. Diese drei Teilstücke kommen also unendlich oft vor und damit auch jede der Ziffern 2,4,6,8.


Aufgabe 5

Aufgabenstellung:

Fritz erzählt:

"In unserer Klasse gibt es genau doppelt so viele Mädchen wie Jungen. Wären es je 5 Jungen und Mädchen weniger, dann hätten wir genau drei Mal so viele Mädchen wie Jungen."

Ermittle die Anzahl aller Mädchen und die aller Jungen in der Klasse.

Lösung (Detlev Mielczarek):
Antwort: Es gibt 20 Mädchen und 10 Jungen in der Klasse.

Rechnung: Bezeichne x die Anzahl der Jungen, dann ist 2*x die Anzahl der Mädchen und es gilt weiter

(2*x - 5) = 3*(x - 5)
2*x - 5 = 3*x - 15
x = 10


Aufgabe 6

Aufgabenstellung:
Die Bäckersfrau Frau Schmidt ist erleichtert. Nach einem arbeitsreichen Samstagnachmittag sind alle Weihnachtsplätzchen fertig. Bei der Weihnachtsbäckerei haben ihr die 8 Nachbarskinder - vier Geschwisterpaare aus je einem Mädchen und einem Jungen - kräftig mitgeholfen. Zur Belohnung gibt sie den acht kleinen Helfern insgesamt 32 Lebkuchen, die sie aber ungewöhnlich aufteilt: Andrea bekommt einen Lebkuchen, Marianne bekommt zwei, Jana drei und Katrin vier. Norman erhält dieselbe Anzahl Lebkuchen wie seine Schwester, Thomas bekommt doppelt so viele Lebkuchen wie seine Schwester, Bernd erhält dreimal so viele Lebkuchen wie seine Schwester und Johannes bekommt sogar viermal so viele Lebkuchen wie seine Schwester.

Wie heißt der Bruder von Katrin?

Lösung (nach Paul Sprenger):
Die Mädchen erhalten insgesamt 10 Lebkuchen. Die restlichen 22 Lebkuchen werden unter den Jungs aufgeteilt:
  1. Fall : Johannes ist Bruder von Katrin

    Johannes bekommt 16 Lebkuchen, bleibt Rest 6. Mindestens benötigt werden 6 < 3·1 + 2·2 + 1·3 Lebkuchen (die geringste Anzahl von Lebkuchen wird benötigt, wenn Bernd 3·1 Lebkuchen, Thomas 2·2 Lebkuchen und Norman 1·3 Lebkuchen erhält.) Diese Annahme führt also zu keiner Lösung.

  2. Fall : Bernd ist Bruder von Katrin

    Bernd bekommt 12 Lebkuchen, bleibt Rest 10. Mindestens benötigt werden 10 < 4·1 + 2·2 + 1·4 Lebkuchen. Diese Annahme führt also ebenfalls zu keiner Lösung.

  3. Fall : Thomas ist Bruder von Katrin

    Thomas bekommt 8 Lebkuchen, bleibt Rest 14. Probieren der 6 Möglichkeiten für die anderen Zuordnungen ergibt als einzige Lösung 3·1 + 4·2 + 1·3 = 14 (also Andrea und Bernd, Marianne und Johannes, Jana und Norman).

  4. Fall : Norman ist Bruder von Katrin

    Norman bekommt 4 Lebkuchen, bleibt Rest 18. Probieren der 6 Möglichkeiten für die anderen Zuordnungen ergibt keine weitere Lösung.

Der Bruder von Katrin ist also Thomas.

Genauer gilt (das ist auch die Probe):

Katrins Bruder ist Thomas, sie bekommen zusammen 4+2·4=12 Lebkuchen.

Andreas Bruder ist Bernd, sie bekommen zusammen 1+3·1=4 Lebkuchen.

Mariannes Bruder ist Johannes, sie bekommen zusammen 2+4·2=10 Lebkuchen.

Janas Bruder ist Norman, sie bekommen zusammen 3+1·3=6 Lebkuchen.

Addiert man die Anzahl der Lebkuchen der Geschwisterpaare, so erhält man die gegebenen 32 Lebkuchen, die die Bäckerin insgesamt verteilte. 4+10+6+12=32.


Aufgabe 7

Aufgabenstellung:
Befragt nach der Anzahl der Weihnachtsbäume, die noch im Angebot sind, antwortet der Weihnachtsbaumverkäufer:

Das Dreifache der Baumzahl vermindert um 50 ist gleich dem Vierfachen der um 50 verminderten Baumzahl.

Wie viele Weihnachtsbäume sind noch im Angebot?

Lösung (nach Christian Alvermann):
Der Weihnachtsbaumverkäufer hat noch 150 Bäume im Angebot. Begründung: Die Anzahl b kann aus folgender Beziehung bestimmt werden: 4*(b-50)=3*b-50, woraus sich durch Umformen b=150 ergibt.

Aufgabe 8

Aufgabenstellung:
Auf Wanderschaft traf Eulenspiegel einen Bauern. Er ging mit ihm ins Wirtshaus. Sie versuchten dort ihr Glück beim Kartenspiel mit dem Wirt, über den sie sich wegen seiner unverschämten Preisforderungen geärgert hatten.

Zuerst verlor Eulenspiegel die Hälfte seines Geldes zu gleichen Teilen an den Bauern und an den Wirt. Im zweiten Spiel verlor der Bauer die Hälfte des Geldes, das er nun hatte, zu gleichen Teilen an Eulenspiegel und den Wirt. Im dritten Spiel verlor der Wirt die Hälfte des Geldes, das er nun hatte, zu gleichen Teilen an Eulenspiegel und den Bauern. Danach hatte jeder der drei Spieler 8 Taler.

Wer von den drei Spielern hatte nun insgesamt gewonnen, wer hatte verloren, und wie hoch war für jeden der Gewinn bzw. Verlust?

Lösung (nach Paul Sprenger):
Insgesamt gewann Eulenspiegel mit 4 Talern Gewinn, dann kommt der Bauer mit einem Taler Gewinn und verloren hat der Wirt mit 5 Talern Verlust.

Begründung: Ich betrachte den Spielverlauf rückwärts und komme zu folgendem Ergebnis:

  Stand nach 3. Runde Stand nach 2. Runde Stand nach 1. Runde Einsatz
Eulenspiegel 8 4 2 4
Bauer 8 4 8 7
Wirt 8 16 14 13

Aufgabe 9

Aufgabenstellung:
(a)
Untersuche, ob es ein 12-Eck gibt, dessen Seiten auf nur 6 verschiedenen Geraden liegen. (4 Pkt.)

(b)
Untersuche, ob es auch ein solches 13-Eck gibt. (4 Pkt.)
Begründe jeweils Deine Antwort.
Lösung (nach Olexandr Medvedyev und Paul Sprenger):
a)

b) Es kann kein 13-Eck auf nur 6 verschiedenen Geraden entstehen. Das geht nicht, weil dann auf irgendeiner Geraden 3 Seiten liegen müssten, also 6 Eckpunkte. Und von jedem dieser Eckpunkte müsste eine weitere Kante ausgehen. Das wären 6 weitere (verschiedene) Geraden, also schon insgesamt 7.


Aufgabe 10

Aufgabenstellung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen beträgt 240, ihr größter gemeinsamer Teiler 8.
(a)
Finde ein Zahlenpaar mit diesen Eigenschaften. (3 Pkt.)

(b)
Wie viele Lösungspaare gibt es insgesamt? (3 Pkt.)
Begründe jeweils Deine Antwort.
Lösung (nach Olexandr Medvedyev):
a) Eine Lösung ist das Zahlenpaar (8,240).

b) In jedem Lösungspaar (a,b) müssen a und b durch 8 teilbare Teiler von 240 sein. Wegen 8=23 und 240=24 · 3 · 5 kommen dafür nur 8, 16, 24, 40, 48, 80, 120, 240 in Frage. Aus diesen acht Zahlen können wir nun folgende 28 Paare bilden (wir beschränken uns auf Paare mit a>b) und für jedes prüfen, ob kgV und ggT stimmen: 240 und 120; 240 und 80; 240 und 48; 240 und 40; 240 und 24; 240 und 16; 240 und 8; 120 und 80; 120 und 48; 120 und 40; 120 und 24; 120 und 16; 120 und 8; 80 und 48; 80 und 40; 80 und 24; 80 und 16; 80 und 8; 48 und 40; 48 und 24; 48 und 16; 48 und 8; 40 und 24; 40 und 16; 40 und 8; 24 und 16; 24 und 8; 16 und 8.

Wir erhalten insgesamt acht Lösungen: 240 und 8; 120 und 16; 80 und 24; 48 und 40 sowie die Paare in umgekehrter Reihenfolge.

Einfacher argumentiert man etwa so: Lösungspaare haben die Gestalt (8*a,8*b), wobei a,b Komplementärteiler von 240/8=30 sind. Für (a,b) kommen also in Frage: (1,30), (2,15), (3,10), (5,6) sowie die Paare in umgekehrter Reihenfolge. Das ergibt genau die oben aufgeführten Lösungen.


Aufgabe 11

Aufgabenstellung:
Die Diagonalen eines Rhombus bilden mit einer der Seiten spitze Winkel, deren Größen im Verhältnis 2:3 stehen. Bestimme daraus die Größe der Innenwinkel des Rhombus.
Lösung:
Da im Rhombus die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, ergeben sich für die beiden Winkel zwischen den Diagonalen und der Rhombusseite der Größen 2a und 3a zusammen 2a+3a=90o, also a=18o. Die Innenwinkel des Rhombus sind doppelt so groß, also 4*18=72o und 6*18=108o.

Aufgabe 12

Aufgabenstellung:
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks gehen durch einen gemeinsamen Punkt und zerlegen das Dreieck in sechs Teildreiecke. Zeige, dass diese Teildreiecke alle gleichen Flächeninhalt haben.
Lösung von Paul Sprenger

Aufgabe 13

Aufgabenstellung:
An einer Kreuzung standen hintereinander in einer Reihe genau 7 Fahrzeuge. Jedes dieser Fahrzeuge war entweder ein LKW oder ein PKW. Über ihre Reihenfolge ist folgendes bekannt:
  1. Kein LKW stand direkt vor hinter einem anderen LKW.
  2. Genau ein PKW befand sich unmittelbar zwischen zwei LKW.
  3. Genau ein LKW befand sich unmittelbar zwischen zwei PKW.
  4. Genau drei PKW standen unmittelbar hintereinander.
Ermittle alle Reihenfolgen, in denen die Fahrzeuge so hintereinander gestanden haben könnten. Und vergiss die Begründung deiner Überlegungen nicht !
Lösung nach Josephin Lenk und Anja Pregel
Die LKWs und PKWs können nur in einer dieser Reihenfolge hintereinander stehen:
LKW - PKW - PKW - PKW - LKW - PKW - LKW oder:

LKW - PKW - LKW - PKW - PKW - PKW - LKW.

Begründung: Es müssen die Kombinationen LKW - PKW - LKW (Bed. 2) und PKW - PKW - PKW vorkommen. Sie können nicht durch einen PKW getrennt sein (widerspricht Bed. 4) und auch nicht durch einen LKW (widerspricht Bed. 1). Also müssen beide Kombinationen aneinander grenzen, womit auch Bed. 3 erfüllt ist. Am "LKW-Ende" kann weder LKW (widerspricht Bed. 1) noch PKW (widerspricht Bed. 3) stehen. Am "PKW-Ende" kann nur ein LKW stehen (wegen Bed. 2). Damit ergeben sich genau die obigen beiden Lösungen, für die man auch leicht prüft, dass die vier Bedingungen tatsächlich erfüllt sind.

Aufgabe 14

Aufgabenstellung:
Gegeben sei ein (konvexes, aber ansonsten beliebiges) Viereck ABCD. Verbindet man die vier Seitenmitten E,F,G,H im Uhrzeigersinn, so entsteht ein neues Viereck (sogar ein Parallelogramm - warum?).

Ermittle das Verhältnis der Flächeninhalte der Vierecke ABCD und EFGH.

Lösung von Paul Sprenger

Aufgabe 15

Aufgabenstellung:
Anja und Peter spielen folgendes Spiel: Es werden abwechselnd positive ganze Zahlen angesagt. Verboten ist es, eine Zahl anzusagen, die die Summe aus bereits angesagten Zahlen ist, wobei auch Wiederholungen unter den Summanden erlaubt sind. Wurden z.B. 12 und 17 angesagt, so darf 41 nicht mehr angesagt werden, wegen 12+12+17=41. Es verliert derjenige, der die Zahl 1 ansagen muss.

(a) Anja und Peter beginnen mit den Zahlen 4 und 7. Welches ist die größte Zahl, die Anja als nächstes ansagen kann? Was ist die längste Folge von Zahlen, die danach angesagt werden kann und wie lautet diese? (3 Pkt.)

(b) Gibt es für einen der beiden Spieler eine Gewinnstrategie, wenn mit den Zahlen 4 und 7 begonnen wird? (5 Pkt.)

(d) Anja und Peter beginnen mit den Zahlen p und q wobei p<q gelte. Für welche (p;q) gibt es eine größte Zahl, mit der Anja fortsetzen kann und wie lautet diese? (8 Pkt.)

Lösung nach Oleksandr Medvedyev

a) Die größte Zahl, die Anja als nächstes ansagen kann, ist die Zahl 17. 18 geht nicht, weil 18=7+7+4; 19 nicht, weil 19=4*3+7; 20 nicht, weil 20=4*5 und 21 nicht, weil 21=7*3. Alle weiteren Zahlen gehen nicht, weil sie dann auch aus 4 und 7 gebildet werden: 22=18+4, 23=19+4 usw. Bei den Zahlen unter 17 gibt es auch einige, die nicht angesagt werden können, das sind 8; 11; 12; 14; 15; 16.

Die folgenden Zahlen sind also nach der Ansage von 4 und 7 noch ansagbar: 2,3,5,6,9,10,13,17. Um eine möglichst lange Sequenz zu erhalten, muss man diese Zahlen mit der größten beginnend ansagen, also: 4,7,17,13,10,9,6,5,3,2,1.

b) Es gibt eine Strategie und zwar für den, der anfängt. Wer die Zahl 2 oder 3 als erstes ansagen muss, hat verloren. Dann sagt der andere 3 oder 2 und es gibt keine weiteren ansagbaren Zahlen außer der 1: Erlaubte Zahlen sind die, die man, nachdem 4 und 7 schon angesagt sind, noch ansagen darf, es sind: 2,3,5,6,9,10,13,17. Wenn 2 und 3 schon angesagt sind, ist 5=2+3; 6=3+3; 9=3+3+3; 10=4+4+2; 13=7+4+2; 17=7+4+4+2.

Wenn zuerst 5 oder 6 ansagen muss, hat auch verloren. Denn dann sagt der andere die andere Zahl und außer 1,2,3 bleibt nichts mehr anzusagen. Der erste muss also in den sauren Apfel beißen und 2 oder 3 ansagen, siehe oben.

Wenn zuerst 9 oder 10 ansagen muss, hat auch verloren. Denn dann sagt der andere die andere Zahl und außer 1,2,3,5,6 bleibt nichts mehr anzusagen. Weiter wie oben.

Sagt Anja also die 13 an, dann bleiben noch die ansagbaren Zahlen 1,2,3,5,6,9,10 und Peter hat verloren, weil er in einen der eben besprochenen Fälle geraten muss.

Sagt Anja dagegen die 17 an, so kann Peter 13 ansagen und hat gewonnen, weil danach Anja in in einen der besprochenen Fälle geraten muss.

Teil c) ist deutlich schwieriger. Hier nur ein paar grobe Hinweise, was herauskommt und in welcher Richtung dabei zu argumentieren ist. Es ist dem Leser überlassen, die Details weiter auszuarbeiten.

Eine solche größte Zahl gibt es genau dann, wenn p und q zueinander teilerfremd sind. Haben p und q einen gemeinsamen Teiler g, so ist natürlich auch jede p-q-Summe durch g teilbar. Also gibt es unendlich viele Zahlen, die keine p-q-Summe sind. Sind dagegen p und q zueinander teilerfremd, dann lässt sich jede genügend große ganze Zahl (etwa jede Zahl >p·q) als a·p+b·q darstellen. Die größte so nicht darstellbare Zahl lautet p·q-p-q. Das ist die größte Zahl kleiner als (p-1)·q, die (mod p) den Rest (p-1)·q lässt.